a, \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a;b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b

b, \(a^3-3a^2+4a+1=a\left(a^2-4a+4\right)+a^2+1=a\left(a-2\right)^2+a^2+1>0\left(\forall a>0\right)\)

c, \(a^4+b^2+2-4ab=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=1\\a=b=-1\end{cases}}\)

thank you nhá

Bài 1:

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(3a^2+4b^2\ge\frac{\left(3a+4b\right)^2}{7}=7\)

b)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(3a^2+5b^2\right)\left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2\right]\ge\left(2a-3b\right)^2=49\)

\(\Rightarrow3a^2+5b^2\ge\frac{735}{47}\)

c)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(7a^2+11b^2\right)\left[\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2+\left(\frac{5}{\sqrt{11}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\cdot\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}\cdot\sqrt{11}b\right)^2=64\)

\(\Rightarrow\frac{274}{77}\left(7a^2+11b^2\right)\ge64\)

\(\Rightarrow7a^2+11b^2\ge\frac{2464}{137}\)

d)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+2b\right)^2=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{4}{5}\)

lần sau đăng ít thôi nhé

a)Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

phần khác tương tư

Turkevici's inequality

Đề sai

cho e lick cái đề đó luôn nà  ... ấn vào đấy    Đáp án đề thi vào lớp 10 Thanh Hóa năm 2013 | Điểm Thi Lớp 10 Thanh Hóa 2016

hình như nó ko onl thì phải

B1. Cho tam giác abc vuông tại a, đường cao ah , ab = 3cm, bc =6cm

A. Giải tam giác vuông abc

B. Gọi e,f lần lượt là hình chiếucuar h trên cạnh ab và ac

a) tính độ dài ah và chứng minh ah = ef

b) tính : ea . eb + af . fc 

eo ơi, nếu mình làm được thì đó là 1 giấc mơ

Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)

Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).

Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).

Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0

Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29

3: =>a^3+b^3+c^3>=3abc

=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc>=0

=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac>=0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0(luôn đúng)