áp dụng hệ quả bđt côsi xy≤ \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) =\(\left(\frac{2}{2}\right)^2\)=1

⇒\(\frac{2+xy}{2-xy}\) ≤\(\frac{2+1}{2-1}\) = 3

dấu =xảy ra khi x=y=1

áp dụng hệ quả bđt côsi xy≤ (x+y\2)^₂ =(2\2)²=1

⇒2+xy\2−xy ≤2+1\2−1 = 3

dấu =xảy ra khi x=y=1

\(\frac{2+xy}{2-xy}\le3\Rightarrow2+xy\le6-3xy\)

\(\Rightarrow4xy\le4\)\(\Rightarrow4\left(xy-1\right)\le0\)(1)

Ta lại có x+y=2=>x=2-y=>xy=(2-y)y=> xy-1=-(y-1)²\(\le\)0

=> (1) đúng

=> đpcm

Sửa đề:

\(\hept{\begin{cases}3x+10\sqrt{xy}-y=12\left(1\right)\\4x+\frac{24\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge12\left(2\right)\end{cases}}\)

Điều kiện: \(xy\ge0\)

Xét \(x,y\le0\)

\(4x+\frac{24\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)(loại)

Xét \(x,y\ge0\)

\(\left(2\right)-\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)+\frac{24\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2+xy+y^2}-4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}-10\sqrt{xy}\ge0\)

Ta có: 

\(VT\le\left(x+y\right)+8\left(x+y\right)-4\left(x+y\right)-5\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Làm tiếp

Câu trên sai rồi nha đọc cái này nè.
\(\hept{\begin{cases}3x+10\sqrt{xy}-y=12\left(1\right)\\x+\frac{6\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\le3\left(2\right)\end{cases}}\)

Điều kiện: \(xy\ge0\)

Xét \(x,y\le0\)

\(x+\frac{6\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\le3\)(đúng)

Xét \(x,y\ge0\)

Ta có:

\(x+\frac{6\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+\frac{4\left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\ge x+2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=x+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+x+y=2x+y\)

\(\Rightarrow3\ge2x+y\left(3\right)\)

Ta có:

\(3x+10\sqrt{xy}-y=12\)

\(VT\le3x+5\left(x+y\right)-y=8x+4y\)

\(\Rightarrow12\le8x+4y\)

\(\Leftrightarrow3\le2x+y\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow x=y\)

Làm nốt

kinh thế