Ta thấy 

3 ; 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Khi cộng vào 2n và 4n thì cũng sẽ có 2n và 4n không cùng chia hết cho bất cứ số nào nên UCLN là 1 .

Các số có ước chung lớn nhất là 1 thì là số nguyên tố . 

Ta thấy 

3 ; 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Khi cộng vào 2n và 4n thì cũng sẽ có 2n và 4n không cùng chia hết cho bất cứ số nào nên UCLN là 1 .

Các số có ước chung lớn nhất là 1 thì là số nguyên tố . 

a) Ta có : \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản <=> ƯCLN(n+1;2n+3) \(\in\){1; -1}

Gọi d là ƯCLN(n+1; 2n+3)

=> n + 1 \(⋮\)d        =>  2(n + 1) \(⋮\) d => 2n + 2  \(⋮\) d

     2n + 3 \(⋮\) d  

=> (2n + 3) - (2n + 2) = 1 \(⋮\)  d => d \(\in\){1; -1}

Vậy  \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản

gọi UCLN(n+1,2n+3)=đ (d thuộc N*)

Ta có:{n+1 chia hết cho d=>2n+2 chia hết cho d

          { 2n+3 chia hết cho d

Xét[(2n+3)-(2n+2)] chia hết cho  d

=>1 chia hết cho d

=> d=1

=>UCLN(n+1,2n+3)=1

Vậy n+1/2n+3 là phân số tối giảm với mọi n

b,

gọi UCLN(2n+3,4n+8)=đ (d thuộc N*)

Ta có:{n+1 chia hết cho d=>2n+2 chia hết cho d

          { 2n+3 chia hết cho d

Xét[(2n+3)-(2n+2)] chia hết cho  d

=>1 chia hết cho d

=> d=1

=>UCLN(n+1,2n+3)=1

Vậy n+1/2n+3 là phân số tối giảm với mọi n

ý b mình ghi nhầm

1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

Bài 1: Theo đề, ta có : a : 18 ( dư 12 ) ( a \(\in N\) )

\(\Rightarrow\) a : 2.9 ( dư 3+9 )

\(\Rightarrow\) a : 9 ( dư 3 )

Bài 2 : Theo đề, ta có : B = 6 + m + n + 12

B = ( m + n ) + ( 6 + 12 )

B = ( m + n ) + 18

Vì \(18⋮3\) nên khi ( m + n ) \(⋮\) 3 thì B \(⋮3\)

Ngược lại, khi ( m + n ) \(⋮̸\) 3 thì B \(⋮̸\) 3.

Bài 3:

Ta có : A = \(2+2^2+2^3+...+2^{49}+2^{50}\)

A = \(\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{49}+2^{50}\right)\)

A = \(2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{49}\left(1+2\right)\)

A = \(2.3+2^3.3+...+2^{49}.3\)

A = \(3\left(2+2^3+...+2^{49}\right)\) \(⋮\) 3

Ta có : A = \(2+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{49}+2^{50}\)

A = \(\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{46}+2^{47}+2^{48}+2^{49}+2^{50}\right)\)

A = \(2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{46}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

A = 2 . 62 + ... + \(2^{46}.62\)

A = 62 ( 2 +...+ \(2^{46}\) )

A = 31 . 2( \(2+...+2^{46}\) ) \(⋮\) 31

Bài 4: Ta có : \(\overline{abcabc}\) = \(\overline{abc}000+\overline{abc}\) = \(\overline{abc}\left(1000+1\right)\) = \(\overline{abc}.1001\) = \(\overline{abc}.77.13\) \(⋮13\)

Vậy : \(\overline{abcabc}⋮13\)

Để mk làm bài 5 sau nha. Bây giờ đang bận

Bài 5:

a/ Ta có: \(n+5\) \(⋮\) n - 2 ( n \(\in\) N )

\(\Rightarrow\) n - 2 +7 \(⋮\) n - 2

\(\Rightarrow\) 7 \(⋮\) n - 2

\(\Rightarrow\) n - 2 \(\in\) Ư(7) = { 1 ; 7 }

\(\Rightarrow n\in\left\{3;9\right\}\)

b/ Ta có : 2n + 7 \(⋮\) n + 1 ( n \(\in\) N )

\(\Rightarrow\) 2( n + 1 ) + 5 \(⋮\) n + 1

\(\Rightarrow\) 5 \(⋮\) n + 1

\(\Rightarrow\) n + 1 \(\in\) Ư (5) = { 1 ; 5 }

\(\Rightarrow\) n \(\in\) { 0 ; 4 }

Chúc bn hc tốt!!!

Gọi UCLN(n+1,2n+3) = d

=> n + 1 chia hết cho d => 2(n + 1) chia hết cho d => 2n + 2 chia hết cho d

     2n + 3 chia hết cho d

=> 2n + 3 - (2n +  2) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> UCLN(n+1,2n+3) = 1

Vậy \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

Gọi UCLN(2n+1,2n+3) = d

=> 2n+1 chia hết cho d

     2n+3 chia hết cho d

=> 2n+3 - (2n+1) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d \(\in\){1;2}

Vì 2n+1 lẻ nên d = 1

=>UCLN(2n+1,2n+3) = 1

Vậy \(\frac{2n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

ai đúng cho tích