a) a/b = 7/8 - 5/6

a/b = 1/24

b) a/b = 3/4 : 2/3

a/b = 9/8

c) a/b = 5/8 - 5/12

a/b= 5/24

d) a/b = 3/8 - 5/8

a/b = -2/8 -1/4

a) Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{5}{6}=\frac{7}{8}\)=> \(\frac{a}{b}=\frac{7}{8}-\frac{5}{6}\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{21}{24}-\frac{20}{24}=\frac{1}{24}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{1}{24}\)

b) \(\frac{a}{b}\times\frac{2}{3}=\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=\frac{3}{4}\times\frac{3}{2}=\frac{9}{8}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{9}{8}\)

c) \(\frac{5}{8}-\frac{a}{b}=\frac{5}{12}\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{5}{8}-\frac{5}{12}=\frac{15}{24}-\frac{10}{24}=\frac{5}{24}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{5}{24}\)

d) \(\frac{5}{8}+\frac{a}{b}=\frac{13}{8}\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{13}{8}-\frac{5}{8}=\frac{8}{8}=1\)

Vậy : ....

Ta có:

Tập hợp A:
\(A=\left\{1;2;3;5;8\right\}\)

Tập hợp B:

\(B=\left\{-1;0;1;5;9\right\}\)

Mà: \(A\cup B\)

\(\Rightarrow A\cup B=\left\{-1;0;1;2;3;5;8;9\right\}\)

⇒ Chọn B

Chọn B

áp dụng bđt cô si ta có:

\(\frac{a^8}{b^3}+a^2b^3\ge2a^5;\frac{b^8}{c^3}+b^2c^3\ge2b^5;\frac{c^8}{a^3}+c^2a^3\ge2c^5\)

\(\Rightarrow\frac{a^8}{b^3}+\frac{b^8}{c^3}+\frac{c^8}{a^3}\ge2\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\)

áp dụng bđt cô si ta có:

\(a^5+a^5+b^5+b^5+b^5\ge5\sqrt[5]{a^5.a^5.b^5.b^5.b^5}=5a^2b^3\)

\(b^5+b^5+c^5+c^5+c^5\ge5\sqrt[5]{b^5.b^5.c^5.c^5.c^5}=5b^2c^3\)

\(c^5+c^5+a^5+a^5+a^5\ge5\sqrt[5]{c^5.c^5.a^5.a^5.a^5}=5c^2a^3\)

\(\Rightarrow5\left(a^5+b^5+c^5\right)\ge5\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\Rightarrow a^5+b^5+c^5\ge a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\)

\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\ge a^5+b^5+c^5\)

\(\frac{a^8}{b^3}+\frac{b^8}{c^3}+\frac{c^8}{a^3}\ge a^5+b^5+c^5\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

Lời giải

Cách giải đơn giản nhất là khai triển

\(3(a^8+b^8+c^8)\geq (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^8+b^8+c^8)\geq a^5(b^3+c^3)+b^5(c^3+a^3)+c^5(a^3+b^3)\)

\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^5-b^5)+(b^3-c^3)(b^5-c^5)+(c^3-a^3)(c^5-a^5)\geq 0(\star)\)

Xét \((a^3-b^3)(a^5-b^5)=(a-b)^2(a^2+b^2)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)\geq 0\) với mọi \(a,b>0\)

và tương tự với các biểu thức còn lại.

Suy ra BĐT \((\star)\) luôn đúng.

Ta có đpcm

Đây chính là một dạng của BĐT Chebyshev:

Với dãy số thực \(a_1\leq a_2\leq ....\leq a_n\) . Nếu tồn tại dãy số thực\(b_1\leq b_2\leq .... \leq b_n\) thì \(n(a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)\)

Câu 2:

Tương tự câu 1 thôi.

Do \(a+b=2\) nên bài toán tương đương: \(2(a^8+b^8)\geq (a^7+b^7)(a+b)\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\geq a^7b+ab^7\Leftrightarrow (a^7-b^7)(a-b)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^6+a^5b+....+ab^5+b^6)\geq 0(\star)\)

Xét \(Q=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6\)

\(Q=(a+b)(a^5+b^5)+a^2b^2(a^2+b^2+ab)\)

Dựa vào điều kiện \(a+b=2\) và biến đổi, ta thu được \(Q=16(2-ab)^2-8ab(2-ab)-a^3b^3\)

Đặt \(ab=t\Rightarrow Q=-t^3+24t^2-80t+64\)

\(\Leftrightarrow Q=(1-t)(t-8)^2+7t^2\)

Với mọi \(a,b\in\mathbb{R}\) ta luôn có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow t\leq 1\). Do đó \(Q\geq 0\)

Kéo theo BĐT \((\star)\) luôn đúng, bài toán luôn đúng. Do đó ta có đpcm.

a/

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3}{8}xy^2+B-\dfrac{5}{6}x^2y+\dfrac{3}{4}x^2y-\dfrac{5}{8}xy^2\\ \Leftrightarrow A-B=-\dfrac{1}{12}x^2y-\dfrac{1}{4}xy^2\)

b/

\(\Leftrightarrow A-B=5xy^3-\dfrac{5}{8}yx^3-\dfrac{21}{4}xy^3+\dfrac{3}{7}x^3y\\ \Leftrightarrow A-B=-\dfrac{1}{4}xy^3-\dfrac{11}{56}x^3y\)