Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)

=>\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}\)

=>\(M>\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)

=>M>1(1)

Lại có: 

Áp dụng tính chất: Nếu \(\frac{a}{b}<1=>\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)

Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}<\frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}<\frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}<\frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}<\frac{t+y}{x+y+z+t}\)

=>\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}<\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+z}{x+y+z+t}+\frac{z+x}{x+y+z+t}+\frac{t+y}{x+y+z+t}\)

=>\(M<\frac{2.\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)

=>M<2(2)

Từ (1) và (2)

=>1<M<2

=>M không là số tự nhiên

=>ĐPCM

nhan vao chu dung 0 se co cach giai

4 hả thử coi nếu đúng tớ ghi cách giải

 nhấn vào chữ Đúng 0 sẽ có lời giải hiện ra

\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\\x-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)=\frac{\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=1\\xyz=-1\end{cases}}\).

Đặt A=x/x+y+z + y/x+y+t + z/y+z+t +t/x+z+t

-Chứng minh biểu thức nhỏ hơn 2 .

Ta có: A<x+t/x+y+z+t + y+z/x+y+t+z + z+x/y+z+t+x + t+y/x+t+y+z

A<x+t+y+z+z+x+t+y/x+y+t+z

A<2(x+t+y+z)/x+y+t+z

A<2

-Chứng minh biêu thức lớn hơn 1

A>x/x+y+t+z + y/x+y+t+z + t/x+y+z+t + z/x+y+t+z

A>x+y+t+z/z+x+y+t

A>1

Mà 1<A<2

Suy ra A không phải là STN

Có gì sai thì bạn sửa nhé