Bài 1: Phân thức đại số.

a.

\(\left(x+3\right)A=\left(x-3\right)B\Rightarrow\dfrac{A}{B}=\dfrac{x-3}{x+3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=x-3\\B=x+3\end{matrix}\right.\)

b.

\(\dfrac{x^2-16}{x+4}A=\left(x+4\right)B\Rightarrow\dfrac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x+4}A=\left(x+4\right)B\)

\(\Rightarrow\left(x-4\right)A=\left(x+4\right)B\)

\(\Rightarrow\dfrac{B}{A}=\dfrac{x-4}{x+4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=x+4\\B=x-4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{4x^3+4x^2}{x^2-1}=\dfrac{4x^2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{4x^2}{x-1}\)

\(\dfrac{b^2+b}{a+ab}=\dfrac{b\left(b+1\right)}{a\left(b+1\right)}=\dfrac{b}{a}\)

d) Để phân thức \(\dfrac{4x^3+4x^2}{x^2-1}\) có nghĩa thì: \(x^2-1\ne0\Leftrightarrow x\ne\pm1\)

Khi đó: \(\dfrac{4x^3+4x^2}{x^2-1}=\dfrac{4x^2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{4x^2}{x-1}\)

e) Để phân thức \(\dfrac{b^2+b}{a+ab}\) có nghĩa thì: \(a+ab\ne0\Leftrightarrow a\ne-ab\)

Khi đó: \(\dfrac{b^2+b}{a+ab}=\dfrac{b\left(b+1\right)}{a\left(1+b\right)}=\dfrac{b}{a}\)

\(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow MTC\) là \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\dfrac{2x}{x^2+x+1}=\dfrac{2x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

Câu 40: Đáp án thứ nhất 

Câu 41: Đáp án thứ hai

\(=\left(\dfrac{2x+1}{x+1}-\dfrac{x-2}{x+1}\right)-\left(\dfrac{3x^2}{x-1}-\dfrac{3}{x-1}\right)\)
\(=\left(\dfrac{2x+1-x+2}{x+1}\right)-\left(\dfrac{3x^2-3}{x-1}\right)\)
\(=\dfrac{x+3}{x-1}-\left[\dfrac{3\left(x^2-1\right)}{x-1}\right]\)
=\(\dfrac{x+3}{x-1}-\left[\dfrac{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}\right]\)
\(\dfrac{x+3}{x-1}-3\left(x+1\right)\)

Lời giải:

a. ĐKXĐ: $x\neq 1$

\(P=\frac{x^2+2}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{2(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}\)

\(=\frac{x^2+2+2x-2-x^2-x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{1}{x^2+x+1}\)

b.

$x^2-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$

Vì $x\neq 1$ theo ĐKXĐ nên $x=0$

Khi đó: $P=\frac{1}{0^2+0+1}=1$
c.

Ta thấy:

$1>0$

$x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0$ với mọi $x\neq 1$

$\Rightarrow P=\frac{1}{x^2+x+1}>0$

Hay $P$ luôn dương với mọi $x\neq 1$

Để D là số nguyên thì \(2x+4⋮3x-1\)

=>\(6x+12⋮3x-1\)

=>\(6x-2+14⋮3x-1\)

=>\(14⋮3x-1\)

=>\(3x-1\in\left\{1;-1;2;-2;7;-7;14;-14\right\}\)

=>\(3x\in\left\{2;0;3;-1;8;-6;15;-13\right\}\)

=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};0;1;-\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3};-2;5;-\dfrac{13}{3}\right\}\)

mà x nguyên

nên \(x\in\left\{0;1;-2;5\right\}\)

Yêu cầu và điều kiện đề là gì bạn nên ghi chú rõ để mọi người hỗ trợ bạn được tốt hơn nhé.