Tìm GTNN của : B=\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
biết \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\)tìm gtnn của \(P=\frac{ab^2}{a+b}+\frac{bc^2}{b+c}+\frac{ca^2}{c+a}\)
theo giả thiết => a+b+c=3abc
ta có:
\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+a\sqrt{c}+c\sqrt{b}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(theo cauchy schawarz)\(=\frac{\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)^2}{6abc}\)
=>\(P>=\frac{\left(3\sqrt[3]{abc\sqrt{abc}}\right)^2}{6abc}\)(cô si)=3/2
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=\(\frac{1}{2}\)
cho a,b,c >0, a+b+c=ab
Tìm GTNN của biểu thức: \(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\)
Từ \(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xy+yz+xz=1\end{cases}}\)
\(A=\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\)
\(=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3xyz+x+y+z}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}+x+y+z}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{xy+yz+xz+3}\)\(\ge\frac{3\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}}{xy+yz+xz+3}\)
\(=\frac{3\sqrt{3}}{1+3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Cho a+b+c+ab+bc+ca=6 và a,b,c>0. Tìm GTNN của P=\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)
cho \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=3\) (a, b, c > 0)
Tìm gtnn của P= \(\frac{ab^2}{a+b}+\frac{bc^2}{b+c}+\frac{ca^2}{a+c}\)
Cho a, b, c>0. Tìm GTNN của \(A=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ca}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\)
Lời giải:
Vì $abc=1$ nên:
\((a+bc)(b+ac)(c+ab)=a(a+bc)b(b+ac)c(c+ab)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+1)(1+b^2)\geq (a+b)^2; (a^2+1)(1+c^2)\geq (a+c)^2; (b^2+1)(1+c^2)\geq (b+c)^2\)
Nhân theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+b)(b+c)(c+a)\)
Lại có: Theo BĐT AM-GM thì:
\((a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc\)
\(\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}(*)\) (đây là BĐT khá quen thuộc rồi)
Do đó:
\(P=\frac{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}\)
\(P\geq \frac{7(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT (*) và AM-GM:
\(\frac{7(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}\geq 7.\frac{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}{8(ab+bc+ac)}=\frac{7}{9}(a+b+c)\geq \frac{7}{9}.3\sqrt[3]{abc}=\frac{7}{3}\)
\(\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)(a+b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{7}{3}+\frac{2}{3}=3\)
Vậy $P_{\min}=3$
\(\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1+1\)
\(=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1+1+1-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-1=\left(a+b+c\right)^2-1\)\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\)
Dấu " = " xảy ra <=> ...
Ta có: \(\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\ge ab+bc+ca\)( BĐT quen thuộc tự c/m)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}-\frac{1}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{a+b+c}\)\(=3+\frac{a+b+c-3}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta có: \(abc=1\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}=1\le\frac{a+b+c}{3}\left(AM-GM\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> ...
\(\Rightarrow P\ge3+\frac{a+b+c-3}{\left(a+b+c\right)^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1
KL:...........
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ca=6abc. Tìm GTNN của P = \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+zx=6\\P=x^2+y^2+z^2\end{cases}}\)
\(6=x+y+z+xy+yz+zx\le x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{9}{3}=3\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\). Tìm GTNN của \(S=\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}\)
Mình thì dư đoán điểm rơi \(a=b=c=1\) rồi, nhưng nháp mãi vẫn không ra được.
\(\frac{a}{b^3+ab}\)=\(\frac{a^2}{b^3a+a^2b}\)
tương tự thì ta có S= \(\frac{a^2}{b^3a+a^2b}\) + \(\frac{b^2}{c^3b+b^2c}\) + \(\frac{c^2}{a^3c+ac^2}\)
áp dụng bất dẳng thức cô si s goát,ta có
S=\(\frac{a^2}{b^3a+a^2b}\)+ \(\frac{b^2}{c^3b+b^2c}\)+ \(\frac{c^2}{a^3c+ac^2}\)\(\ge\) \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b^3a+a^2b+c^3b+b^2c+a^3c+c^2a}\)
cái mẫu mk chx nghĩ ra phân tích ra sao nx,tí nghĩ nốt
Cho a;b;c>0 . Tìm GTNN
\(A=a\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{bc}\right)+b\left(\frac{b}{2}+\frac{1}{ca}\right)+c\left(\frac{c}{2}+\frac{1}{ab}\right)\)
ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)
Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...