\(A=n^3-n\\ =n\left(n^2-1\right)\\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

n; n-1; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp (1)

=> 1 trong 3 số trên chia hết cho 2

=> A chia hết cho 2 (2)

Từ (1) => một trong 3 số trên chia hết cho 3

=> A chia hết cho 3 (3)

2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau (4)

Từ (2); (3); (4) => A chia hết cho 6 (đpcm)

n³ - n 

= n(n² - 1) = n(n² - 1²)

= n(n - 1)(n + 1)

Có n - 1 ; n ; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp (n thuộc Z)

=> trong 3 số đó luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> Tích của chúng chia hết cho 6

=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6

=> n³ - n chia hết cho 6 (Đpcm)

A = a³ - a

A = a.(a² - 1)

A = a.(a-1).(a+1)

A = (a-1).a.(a+1)

Vì (a-1).a.(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên (a-1).a.(a+1) chia hết cho 2 và 3

Do (2,3) = 1 => (a-1).a.(a+1) chia hết cho 6 => A chia hết cho 6

Câu A lm đc thì các câu B,C,D trở nên rất đơn giản

B = a³ - a + 6a

Do a³ - a chia hết cho 6, 6a chia hết cho 6

=> B chia hết cho 6

C = a³ + 11a

C = a³ - a + 12a

Do a³ - a chia hết cho 6, 12a chia hết cho 6

=> C chia hết cho 6

D = a³ - 19a

D = a³ - a - 18a

Do a³ - a chia hết cho 6, 18a chia hết cho 6

=> D chia hết cho 6

giúp mk nha mấy bn

a)n=1

b)n=9

c)n=4

d)n=8

Bài 8:

a) Ta có: \(2^9-1=\left(2^3-1\right)\cdot\left(2^6+2^3+1\right)\)

\(=7\cdot\left(64+8+1\right)=7\cdot73⋮73\)(đpcm)

b) Ta có: \(5^6-10^4=5^4\cdot5^2-5^4\cdot2^4=5^4\left(5^2-2^4\right)\)

\(=5^4\left(25-16\right)=5^4\cdot9⋮9\)(đpcm)

c) Ta có: \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\cdot\left(2n+2\right)=4\cdot2\cdot\left(n+1\right)=8\left(n+1\right)⋮8\)(đpcm)

d) Ta có: \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12\cdot2n=24n⋮24\)(đpcm)

a) Sử dụng định lí Fermat nhỏ: Với mọi \(n\inℕ\), \(p\ge2\)là số nguyên tố. Ta luôn có \(n^p-n⋮7\)

Dễ thấy 7 là số nguyên tố. Do đó \(n^7-n⋮7\)

Có thể sự dụng pp quy nạp toán học hay biến đổi đẳng thức rồi sử dụng pp xét từng giá trị tại 7k+n với 7>n>0

b)Ta có: \(2n^3+3n^2+n=2n^3+2n^2+n^2+n\)

\(=n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Ta thấy n(n+1) chia hết 2. Chỉ cần chứng minh thêm đằng thức trên chia hết cho 3

Đặt n=3k+1 và n=3k+2. Tự thế vài và CM

c) Tương tự: \(n^5-5n^3+4n=n^3\left(n^2-1\right)-4n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n^2-4\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)

Sắp xếp lại cho trật tự: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Dễ thấy đẳng thức trên chia hết cho 5

Mà ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

Và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮4\)

Và tích của hai số bất kì cũng chia hết cho 2

Vậy đẳng thức trên chia hết cho 3.4.2.5=120

Cậu cuối bn chứng minh cách tương tự. :)

Mik cảm ơn bn nhìu nha!!!!^-^!!!

\(7^{n+4}-7^n\)

\(\Rightarrow7^n\cdot7^4-7^n\)

\(\Rightarrow7^n\cdot\left(7^4-1\right)\)

\(\Rightarrow7^n\cdot\left(2401-1\right)\)

\(\Rightarrow7^n\cdot2400\)

\(\Rightarrow7^n\cdot30\cdot80⋮30\left(đpcm\right)\)

\(3^{n+2}+3^n\)

\(\Rightarrow3^n\cdot3^2+3^n\)

\(\Rightarrow3^n\cdot\left(3^2+1\right)\)

\(\Rightarrow3^n\cdot\left(9+1\right)\)

\(\Rightarrow3^n\cdot10⋮10\left(đpcm\right)\)

+ Do n không chia hết cho 3 => 4n không chia hết cho 3; 3 chia hết cho 3 => 4n + 3 không chia hết cho 3 => (4n + 3)² không chia hết cho 3

=> (4n + 3)² chia 3 dư 1 (1)

+ Do 4n + 3 lẻ => (4n + 3)² lẻ => (4n + 3)² chia 8 dư 1 (2)

Từ (1) và (2); do (3;8)=1 => (4n + 3)² chia 24 dư 1

Mà 25 chia 24 dư 1

=> (4n + 3)² - 25 chia hết cho 24 ( đpcm)