\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)

\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)

\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)

Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế, ta có:

\(x+y+3+1=x+y\)

\(x+y+3+1-x-y=0\)

\(4=0\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

-Chúc bạn học tốt-

(x,y) hoán vị của (4,9) . có vẻ hoạt động

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$

$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$

$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$

$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$

$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$

Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.

Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp

Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$

$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$

$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.

Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$

Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.

Tham khảo nha e

đăng câu hỏi kiểu j mà đặng đc lên như thế này đấy

1.

Đặt \(\sqrt[3]{2+\sqrt{b}}=x;\sqrt[3]{2-\sqrt{b}}=y\)

Do \(x>0\Rightarrow x^2+y^2-xy=\dfrac{3}{4}x^2+\left(\dfrac{1}{2}x-y\right)^2>0\)

\(PT\Leftrightarrow\dfrac{x^3+y^3}{a}+xy=x^2+y^2\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{a}=x^2-xy+y^2\\ \Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(\dfrac{x+y}{a}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+y}{a}=1\\ \Leftrightarrow\sqrt[3]{2+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{b}}=a\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{b}}\right)^3=a^3\\ \Leftrightarrow4+3a\sqrt[3]{4-b}=a^3\left(2\right)\\ \Rightarrow4-b=\left(\dfrac{a^3-4}{3a}\right)^3\)

Mặt khác \(b\in \mathbb{Z^+}\)

\(\Rightarrow\left(a^3-4\right)⋮3a\Rightarrow\left(a^3-4\right)⋮a\\ \Rightarrow4⋮a\Rightarrow a\in\left\{1;2;4\right\}\)

Với \(a=1\Rightarrow4-b=1\Rightarrow b=5\)

Với \(a=2;a=4\Rightarrow b\notin \mathbb{Z}\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(1;5\right)\)

và \(\sqrt{x}=\sqrt{2012}=2\sqrt{503}-\sqrt{y}\)

=> \(x=2012-4\sqrt{503y}+y\) là số nguyên dương 

=> \(\sqrt{503y}\) là số nguyên dương 

mà 503 là số nguyên tố và 0 < y < 2012

=> y = 503 

=> x = 503

Kết luận:...

Bài đc đăng vào ngày 14/8/2019 mà đến 19/6/2020 mới đc giải? 

\(\sqrt{2x^2-6x+m-3}=\sqrt{x^2-2x-3}\) (1)

\(\Leftrightarrow2x^2-6x+m-3=x^2-2x-3\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+m=0\)

Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm <=> \(\Delta'=0\) => (-2)²-1.m = 0 <=> 4-m = 0 <=> m=4