Lời giải:

Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.

Chứng minh:

Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2\vdots 3$ (dư $0$)

Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$ 

$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$

Vậy ta có đpcm

-----------------------------

Áp dụng vào bài:

TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH1: Nếu $a\vdots 3, b\not\vdots 3$

$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow b^2+3\vdots 3$

$\Rightarrow a(b^2+3)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)\vdots 9$

TH3: Nếu $a\not\vdots 3; b\vdots 3$

$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow b(a^2+2)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH4: Nếu $a\not\vdots 3; b\not\vdots 3$

$\Rightarrow a^2, b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3; b^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

Từ các TH trên ta có đpcm.

BN THAM KHẢO:

thx ban

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 1²

Ta có: \(a^2+b^2\) chia hết cho ab

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{aa.bb}{ab}=\frac{ab.ab}{ab}=ab\)

Vậy a hoăc b = {0;1;-1}

Vì A62 +b^2 chia hết cho ab => A là số tự nhiên

Ta có (a^2+b^2) chia hết cho ab

=>(a^2+b^2)/ab là số tự nhiên (vì a,b thuộc N)

=>a^2+b^2/ab=a^2/ab    +    b^2/ab=a/b+b/a

Nếu a khác b thì a/b+b/a không là số tự nhiên

Nếu a=b thì a/b+b/a =1 là số tự nhiên

Vậy (a^2+b^2)/ab=1

ta có A= (a^2 + b^2)/ab =a/b + b/a vì bài toán yêu cầu (a^2 +b^2) chia hết cho ab nên a phải là ước của b và bcungx phải là ước của a nên ta có a=b => A= 2a^2/ a^2 = 2 vậy Đ/S A = 2

2:

a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0

=>-(a^2-2ab+b^2)<=0

=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)

b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0

=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)