Gọi \(N\left(x_0;y_0\right)\)là điểm cố định mà (d) luôn đi qua.

Ta có : \(2x_0+\left(m-1\right)y_0=1\Leftrightarrow\left(2x_0-y_0-1\right)+my_0=0\)

Vì (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m nên ta có : 

\(\begin{cases}2x_0-y_0-1=0\\my_0=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=\frac{1}{2}\\y_0=0\end{cases}\)

Vậy (d) luôn đi qua điểm \(N\left(\frac{1}{2};0\right)\)

Gọi điểm có định là \(N\left(x_0;y_0\right)\)

Vì (d) luôn đi qua điểm cố định N nên ta có : 

\(\Rightarrow2x_0-1+y_0m-y_0=0\Leftrightarrow\left(2x_0-y_0-1\right)+y_0.m=0\)

Vì đẳng thức trên luôn đúng với mọi m nên :

\(\hept{\begin{cases}\left(2x_0-y_0-1\right)=0\\y_0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=\frac{1}{2}\\y_0=0\end{cases}}\)

Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định \(N\left(\frac{1}{2};0\right)\)

Ta thấy x=1/2 và y=0 luôn thỏa mãn phương trình (d) với mọi m nên (d) luôn đi qua điểm A(1/2;0) với mọi giá trị của m.

Giả sử d đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow\) Với mọi m ta có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0-3m+4\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-3\right)+x_0-y_0+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-3=0\\x_0-y_0+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=3\\y_0=7\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m thì đường thẳng luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(3;7\right)\)

Chắc hàm là \(y=\left(m+1\right)x+m-1\)

Giả sử đường thẳng d đi qua điểm cố định có tọa độ \(A\left(x_0;y_0\right)\), khi đó với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m-1\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)+x_0-y_0-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\x_0-y_0-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy khi m thay đổi thì d luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(-1;-2\right)\)

Gọi \(A\left(x;y\right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua

\(\Rightarrow y=2mx+m+1\Rightarrow2mx+m+1-y=0\)

Vì khi m thay đổi thì (d) vẫn đi qua điểm A \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) (d) luôn đi qua điểm \(A\left(0,m+1\right)\)