\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)

\(9+xy\ge2\sqrt{9xy}\) (2)

Từ (2) suy ra \(\frac{12xy}{9+xy}\le\frac{12}{2\sqrt{9xy}}=\frac{6}{\sqrt{9xy}}=\frac{6}{3\sqrt{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

Ta sẽ chứng minh \(2\sqrt{xy}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\).Thật vậy,ta có:

Điều cần chứng minh tương đương với: \(2\sqrt{xy}.\sqrt{xy}\ge2\)

hay \(2xy\ge2\) (luôn đúng vì x,y dương)

Suy ra đpcm

P/s: Tuy nhiên ở bài này dấu "=" xảy ra. =,=

À nhầm xíu, bắt đầu lại chỗ: "Ta sẽ chứng minh ..."

Ta sẽ chứng minh \(\frac{2\sqrt{xy}}{1}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( \(2\sqrt{xy}=\frac{2\sqrt{xy}}{1}\).Thật vậy,ta có:

Điều cần chứng minh tương đương với: \(\frac{2\sqrt{xy}.\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

Hay \(\frac{2xy}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) - luôn đúng (do x,y dương)

P/s: tuy nhiên dấu "=" không xảy ra ở bài này =((

Ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Ta cần chứng minh:

\(2\sqrt{xy}\ge\frac{12xy}{9+xy}\)

Đặt \(\sqrt{xy}=a\)

\(\Rightarrow2a\ge\frac{12a^2}{9+a^2}\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-3\right)^2\ge0\) (đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu = xảy ra khi \(a=3\)hay \(x=y=3\)

Lời giải:

Áp dụng BDDT Cô-si cho các số dương:

\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\)

\(9+xy\geq 2\sqrt{9xy}=6\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow (x+y)(9+xy)\geq 2\sqrt{xy}.6\sqrt{xy}=12xy\)

\(\Rightarrow x+y\geq \frac{12xy}{9+xy}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y>0; 9=xy\Rightarrow x=y=3\)

https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/ 

bạn tham khảo nhé

Theo như câu đưới thì

\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)(bất đẳng thức cosi)

ta caàn chứng minh bđt 

\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}\ge\frac{x}{x+xz}+\frac{y}{y+yz}=\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+z}\)

tương tự + vào, dùng svác sơ

Ta chứng minh 1 bổ đề sau: Với a;b lớn hơn hoặc bằng 1 thì \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

Thật vậy: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^3b+b^2+b^3a+2+2ab\ge2a^2+2b^2+2a^2b^2+2\)

\(\Leftrightarrow a^3b+b^3a+2ab-a^2-b^2-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng với a;b>=1)

Trở lại bđt trong bài: \(\frac{2019}{2019+x^2}+\frac{2019}{2019+y^2}\ge\frac{4038}{2019+xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2019+x^2}+\frac{1}{2019+y^2}\ge\frac{2}{2019+xy}\) bđt này tương tự với bđt vừa cm trong bài,với x;y là hoán vị của a;b và 2019 có vai trò như 1

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)

Ta có vì : x,y > 0

và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Từ đề bài ta có:

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng đẳng thức Cô-si:

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy....

đpcm.