\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)

\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)

\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)

Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế, ta có:

\(x+y+3+1=x+y\)

\(x+y+3+1-x-y=0\)

\(4=0\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

-Chúc bạn học tốt-

(x,y) hoán vị của (4,9) . có vẻ hoạt động

và \(\sqrt{x}=\sqrt{2012}=2\sqrt{503}-\sqrt{y}\)

=> \(x=2012-4\sqrt{503y}+y\) là số nguyên dương 

=> \(\sqrt{503y}\) là số nguyên dương 

mà 503 là số nguyên tố và 0 < y < 2012

=> y = 503 

=> x = 503

Kết luận:...

Bài đc đăng vào ngày 14/8/2019 mà đến 19/6/2020 mới đc giải? 

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$

$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$

$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$

$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$

$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$

Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.

Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp

Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$

$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$

$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.

Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$

Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.

\(ĐKXĐ:x;y\ge\frac{1}{2}\)

Chia cả 2 vế của pt cho x ; y ta được

\(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}=2\)

Dễ dàng c/m được \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2y-1}\le y\\\sqrt{2x-1}\le x\end{cases}\Rightarrow VT\le1+1=2}\)

Dấu "=" xảy ra <=>. x= y = 1

Vậy x = y = 1

Rất easy! Dùng Cô si ngược đê!

ĐKXĐ: \(x,y\ge\frac{1}{2}\)

Theo Cô si (ngược),ta có:

\(VT=x\sqrt{1\left(2y-1\right)}+y\sqrt{1\left(2x-1\right)}\)

\(VT\le x.\frac{2y-1+1}{2}+y.\frac{2x-1+1}{2}\)

\(=xy+yx=2xy=VP\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x-1=2y-1=1\Leftrightarrow2x=2y=2\Leftrightarrow x=y=1\)