Lời giải:
Vì $B,D$ đối xứng với nhau qua $AC$ nên $AC$ chính là trung trực của $BD$

$\Rightarrow AB=AD; CB=CD$. Mà $ABC$ là tam giác cân tại $B$ nên $AB=BC$

$\Rightarrow AB=BC=AD=CD$

Xét tam giác $ABD$ và $CBD$ có:

$AB=CB$ (cmt)

$BD$ chung

$AD=CD$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ABD=\triangle CBD$ (c.c.c)

Hình vẽ:

Do A thuộc trung trực đoạn MN nên \(AM=AN\)

Do B thuộc trung trực đoạn MN nên \(BM=BN\)

Xét 2 tam giác MAB và NAB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\left(cmt\right)\\BM=BN\left(cmt\right)\\AB\text{ chung}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta MAB=\Delta NAB\left(c.c.c\right)\)

a, Ta có \(\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}:\widehat{D}=2:2:1:1\Rightarrow\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{1}=\dfrac{\widehat{D}}{1}\) và \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)

Áp dụng t/c dtsbn:

\(\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{1}=\dfrac{\widehat{D}}{1}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+1+2+2}=\dfrac{360^0}{6}=60^0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=120^0\\\widehat{B}=120^0\\\widehat{C}=60^0\\\widehat{D}=60^0\end{matrix}\right.\)

b, Vì \(\widehat{A}+\widehat{C}=120^0+60^0=180^0\) mà 2 góc này ở vị trí TCP nên AB//CD

Do đó ABCD là hình thang

Vì \(\widehat{A}=\widehat{B}=120^0\) nên ABCD là hình thang cân 

a: Xét (O) có 

\(\widehat{EBF}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{EBF}=90^0\)

Xét (O) có 

\(\widehat{EAF}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{EAF}=90^0\)

Xét ΔDEF có 

EB là đường cao ứng với cạnh FD

FA là đường cao ứng với cạnh DE

EB cắt FA tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔDEF

b: Xét tứ giác DAHB có

\(\widehat{DAH}+\widehat{DBH}=180^0\)

nên DAHB là tứ giác nội tiếp

hay D,A,H,B cùng thuộc 1 đường tròn

c: Ta có: I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DAHB 

Suy ra: IA=IB

hay I nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABFE

Suy ra: OA=OB

hay O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của AB

hay OI\(\perp\)AB

d: Điểm K ở đâu vậy bạn?

Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác BFEC có

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
=>BFEC là tứ giác nội tiếp

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

làm j có hình vẽ đâu