Lời giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì trước tiên \(m\neq 0\)

\(\Delta'=1-2m>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{2}\)

Áp dụng định lý Viete: \(x_1+x_2=\dfrac{2}{m}\). Mặt khác \(x_1+x_2=2m(m+1)\)

\(\Rightarrow \frac{2}{m}=2m(m+1)\Leftrightarrow m^3+m^2-1=0\) $(1)$

Giải PT trên, ta thấy nếu \(m\) là nghiệm $(1)$ thì \(m>\frac{1}{2}\), do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn.

để pt có nghiệm thì

\(\Delta'=m^2-m+2\ge0\text{ (luôn đúng)}\)

theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

mà

\(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\dfrac{-24}{4m^2-8m+16}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4}\)

\(\Rightarrow Mm^2-2Mm+4M=-6\)

\(\Leftrightarrow Mm^2-2Mm+4M+6=0\)

ta có \(\Delta'=M^2-4M^2-6M=-3M^2-6M\)

để pt có nghiệm thì

\(\Delta'=-3M^2-6M\ge0\Rightarrow-2\le M\le0\)

vậy Min_M=-2 tại m=1(t/m)

\(\Delta\)' = \(m^2-m+2\) \(\ge0\forall m\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm

theo vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

ta có : M = \(\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}\) = \(\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)

= \(\dfrac{-24}{4m^2-8m+16}\) = \(\dfrac{-6}{m^2-2m+4}\) = \(\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)

ta có : \(-6< 0\) mà \(\left(m-1\right)^2+3\ge3\forall m\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) \(\left(m-1\right)^2+3\) nhỏ nhất

mà \(\left(m-1\right)^2+3\ge3\forall m\) vậy giá trị nhỏ là 3

khi \(\left(m-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\) \(m-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(m=1\)

khi đó M = \(\dfrac{-6}{3}=-2\)

vậy giá trị nhỏ nhất của M = -2 khi m = 1

Xét \(\Delta=m^2+8>0\) nên phương trình luôn có nghiệm

Theo Viete \(x_1+x_2=-m\left(1\right);x_1x_2=-2\)

Mà \(x_1^2=4x_2^2\Leftrightarrow x_1=2x_2\left(h\right)x_1=-2x_2\)

Bạn thay vào ( 1 ) là ra pt bậc nhất 1 ẩn,khi đó dể nè :))

ap dung vi-et

khai trien ra y ak. kho qua

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2-\left(3x^2-2x-1\right)m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)-\left(x-1\right)\left(3mx+m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-\left(3m+2\right)x-m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-\left(3m+2\right)x-m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) luôn có 2 nghiệm pb. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Rightarrow1-\left(3m+2\right)-m-2\ne0\Rightarrow m\ne-\dfrac{3}{4}\)

TH1: \(x_3=1\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của (1)

\(\Rightarrow3m+2=2\Rightarrow m=0\) (thỏa mãn)

TH2: \(x_1=1\) và \(x_2;x_3\) là nghiệm của (1)

Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_3-1\\x_2+x_3=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_3-1\\x_3=m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2m+1\\x_3=m+1\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_2x_3=-m-2\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)\left(m+1\right)=-m-2\)

\(\Rightarrow2m^2+4m+3=0\) (vô nghiệm)

Vậy \(m=0\)