a: =>6n+10 chia hết cho 2n-1

=>6n-3+13 chia hết cho 2n-1

=>2n-1 thuộc {1;-1;13;-13}

mà n>=0

nên n thuộc {1;0;7}

b: 80 chia hết cho n

48 chia hết cho n

=>n thuộc ƯC(80;48)

=>n thuộc Ư(16)

mà n<8

nên n thuộc {1;2;4}

c: n chia hết cho 12;50;60

=>n thuộc BC(12;50;60)

=>n thuộc B(300)

mà 0<n<6000

nên \(n\in\left\{300;600;...;5700\right\}\)

Lời giải:
a.

$2n+7\vdots n+2$

$\Rightarrow 2(n+2)+3\vdots n+2$
$\Rightarrow 3\vdots n+2$

$\Rightarrow n+2\in\left\{1;3\right\}$ (do $n+2>0$ với $n$ là số
 tự nhiên)

$\Rightarrow n\in\left\{-1;1\right\}$

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n=1$
b.

$4n-5\vdots 2n-1$

$\Rightarrow 2(2n-1)-3\vdots 2n-1$

$\Rightarrow 3\vdots 2n-1$

$\Rightarrow 2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{1;0; 2; -1\right\}$

Do $n$ là số tự nhiên nên $n\in\left\{1;0;2\right\}$

n+2=(n-1)+3

ta có vì (n-1) chia hết cho (n-1)

Suy ra 3 chia hết cho (n-1)

Vậy (n-1) thuộc ước của 3

Ư(3)={1;-1;3;-3}

th1 n-1=1 suy ra n=2(tm)

th2 n-1=-1 suy ra n=0(tm)

th3 n-1=3 suy ra n=4(tm)

th4 n-1=-3 suy ra n=-2(ko tm)

Vậy n={2;0;4}

Câu sau cũng gần giống thế

* n+5 chia hết cho n+1

=> n+1+4 chia hết cho n+1

mà n+1 chia hết cho n+1

=> 4 chia hết cho n+1

=> n+1 thuộc Ư(4) = {1;2;4}

=> n thuộc {0; 1; 3}

* n+9 chia hết cho n-1

=> n-1+10 chia hết cho n-1

=> 10 chia hết cho n-1

=> n-1 thuộc Ư(10)={1;2;5;10}

=> n thuộc {2; 3; 6; 11}

* 2n+5 chia hết cho n+2

=> 2n+4+1 chia hết cho n+2

=> 2.(n+2)+1 chia hết cho n+2

=> 1 chia hết cho n+2

=> n+2 thuộc Ư(1)={1}

Mà n là số tự nhiên

=> không có n thỏa mãn.

Ta có: n+1 chia hết cho 165

=> n+1 thuộc B(165) = { 0 ; 165;330;495;660.....}

=> n = { -1 ; 164 ; 329 ; 494;659;............}

Vì n chia hết cho 21 

=> n = 

bây sai cả 5n+ 1 chia hết cho 7 thì kết quả là số tự nhiên 

đùa đó 5n+ 1 chia hết cho 7 

=> 5n+ 1- 14 chia hết cho 7

=> 5n- 15 

ta có: 5n+ 1- 14= 5n- 15= 5.(n-1)

=> 5.(n-1) chia hết cho n- 1 

=> n= 7k+ 1 (k E N) 

1. Gọi số đó là n. Ta có n-1 chia hết cho 2; 3; 4; 5; 6

Để n nhỏ nhất thì n-1 nhỏ nhất. Vậy ta đi tìm BCNN của các số trên là 60

n-1 chia hết cho 60 hay n-1 = 60k <=> n = 60k + 1 (*)

n chia hết cho 7 => 60k + 1 chia hết cho 7

<=> 60k ≡ -1 (mod 7) <=> 56k + 4k ≡ -1 (mod 7) <=> 4k ≡ -1 (mod 7)

<=> 4k ≡ 6 (mod 7) <=> 2k ≡ 3 (mod 7) <=> 2k ≡ 10 (mod 7) <=> k ≡ 5 (mod 7)

Vậy k nhỏ nhất là 5

Thế vào (*): n = 301 thỏa mãn

2. a) n = 25k - 1 chia hết cho 9

<=> 25k ≡ 1 (mod 9) <=> 27k - 2k ≡ 1 (mod 9) <=> -2k ≡ 1 (mod 9) <=> -2k ≡ 10 (mod 9)

<=> -k ≡ 5 (mod 9) <=> k ≡ 4 (mod 9)

Để n nhỏ nhất thì k nhỏ nhất, vậy k là 4

Thế vào trên được n = 99 thỏa mãn

b) ... -3k ≡ 1 (mod 21) <=> -21k ≡ 7 (mod 21) => Vô lý vì -21k luôn chia hết cho 21

Vậy không có n thỏa mãn

c) Đặt n = 9k

9k ≡ -1 (mod 25) <=> 9k ≡ 24 (mod 25) <=> 3k ≡ 8 (mod 25) <=> 3k ≡ 33 (mod 25)

<=> k ≡ 11 (mod 25) => k = 25a + 11 (1)

9k ≡ -2 (mod 4) <=> 9k ≡ 2 (mod 4) <=> k ≡ 2 (mod 4) => k = 4b + 2 (2)

Từ (1) và (2) => 25a + 11 = 4b + 2 <=> 25a + 9 = 4b => 25a + 9 ≡ 0 (mod 4)

<=> a + 1 ≡ 0 (mod 4) (*)

Lưu ý rằng n tự nhiên nhỏ nhất => k tự nhiên nhỏ nhất => a tự nhiên nhỏ nhất. Vậy a thỏa mãn (*) là a = 3 => n = 774 thỏa mãn

Mình không được dạy dạng toán này nên không biết cách trình bày, cách giải cũng là mình "tự chế" nên nhiều chỗ hơi "lạ" một chút, không biết đúng không nữa :D

1. n = 301

2.a) n = 99

b) không có

c) n = 774

qua de ma cung phai hoi

a) Vì 3n chia hết cho n

=> 7 chia hết cho n

=>n \(\varepsilon\)Ư(7) = {1;7;-1;-7}

b) Ta có: n+2= n+1+1

mà n+1 chia hết cho n+1

=> 1 chia hết cho n+1

=> n+1 \(\varepsilon\)Ư(1) = {1;-1}

Lập bảng:

a) Vì 3n chia hết cho n

=> 7 chia hết cho n

=>n \(\in\)Ư(7) = {1;7;-1;-7}

b) Ta có: n+2= n+1+1

mà n+1 chia hết cho n+1

=> 1 chia hết cho n+1

=> n+1 \(\in\)Ư(1) = {1;-1} 

*n+1=1 => n=0

*n+1=-1 => n=-2