n(2n-3)-2n(n+2)

=2n²-3n-2n²-4n

= - 7n luôn chia hết cho 7 (vì -7 chia hết cho 7)

vậy n(2n-3)-2n(n+2) luôn chia hết cho 7 với mọi n

( 2n - 3 )n - 2n(n + 2 ) 

= 2n² - 3n - 2n² - 4n

= -7n \(⋮\)7 với mọi n ( đpcm )

Ta có: (2n-3)n-2n(n+2)=2n^3-3n-2n^3-4n

                                    =-7n chia hết cho 7

Vậy (2n-3)n-2n(n+2) chia hết cho 7 với mọi số nguyên n (đpcm)

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

\(A=\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n+1\right)\)

\(A=n^2+3n-4-n-1\)

\(A=n^2+2n-5\)

Giả sử n = 1 thì A không chia hết cho 6 nên đề bài vô lí

Với n=2 thì (n-1)(n+4)-(n+1) không chia hết cho 6

2n-1chia hết cho 3n+2=>6n-3chia hết cho 6n+4=>6n+4-7chia hết cho 6n+4=>7 chia hết cho 6n+4=>6n+4 thuộc ư(7)=>tìm n theo bảng sau:

a) 2n - 1 chia hết cho 3n + 2

=> 3 x (2n - 1) chia hết cho 3n + 2

=> 6n - 3 chia hết cho 3n + 2

=> 6n + 4 - 7 chia hết cho 3n + 2

=> 2.(3n + 2) - 7 chia hết cho 3n + 2

Do 2.(3n + 2) chia hết cho 3n + 2 => 7 chia hết cho 3n + 2

=> 3n + 2 thuộc {1 ; -1 ; 7 ; -7}

=> 3n thuộc {-1 ; -3 ; 5 ; -9}

Mà 3n chia hết cho 3 => 3n thuộc {-3 ; -9}

=> n thuộc {-1 ; -3}

b) n² - 7 chia hết cho n + 3

=> n² + 3n - 3n - 9 + 2 chia hết cho n + 3

=> n.(n + 3) - 3.(n + 3) + 2 chia hết cho n + 3

=> (n + 3).(n - 3) + 2 chia hết cho n + 3

Vì (n + 3).(n - 3) chia hết cho n + 3 => 2 chia hết cho n + 3

=> n + 3 thuộc {1 ; -1 ; 2 ; -2}

=> n thuộc {-2 ; -4 ; -1 ; -5}

c) n + 3 chia hết cho n² - 7

=> n.(n + 3) chia hết cho n² - 7

=> n² + 3n chia hết cho n² - 7

=> n² - 7 + 3n + 7  chia hết cho n² - 7

Vì n² - 7 chia hết cho n² - 7 => 3n + 7 chia hết cho n² - 7 (1)

Mà theo đề bài ta có: n + 3 chia hết cho n² - 7

=> 3.(n + 3) chia hết cho n² - 7

=> 3n + 9 chia hết cho n² - 7 (2)

Trừ (2) cho (1) => 2 chia hết cho n² - 7

=> n² - 7 thuộc {1 ; -1 ; 2 ; -2}

=> n² thuộc {8 ; 6 ; 9 ; 5}

Mà n² là bình phương của 1 số nguyên => n² = 9

=> n thuộc {3 ; -3}