kẻ đường cao AH. Ah= h 

khi đó: tam giác ACH vuông tại H có

               sin C = h/b

      => a.b.sin C= a.h

      => 1/2 a.b. sin C = a.h/2= SABC

bạn tự vẽ hình nhé ^.^

từ B kẻ BH  vuông góc với AC \(\Rightarrow SABC=\frac{1}{2}AC\cdot BH\)(1)    

ap dung ti so luong giac trong tam giac ABH co \(BH=sinA\cdot AB\)  

thay vao(1) ta co \(SABC=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot sinA\left(DPCM\right)\)

Từ B kẻ đường cao BH (H thuộc AC)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BH\) (1)

Xét tam giác vuông ABH có

\(sinA=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=AB.sinA\) (2)

Thay (2) vào (1) => \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)

b: Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔABH=ΔACK

1.

\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)

\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)

Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát

Ta có: 

Kẻ KE vuông góc với BH  tại E

=> \(S_{BKHC}=S_{BKH}+S_{BCH}=\frac{1}{2}KE.BH+\frac{1}{2}.CH.BH\)

Gọi O là giao điểm của CH và CK

Ta có: \(\sin\widehat{O_1}=\frac{KE}{OK};\sin\widehat{O_2}=\frac{CH}{OC}\)mà \(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)đối đỉnh

=> \(KE=\sin\widehat{O_1}.OK;CH=\sin\widehat{O_1}.OC\)

=> \(S_{BKHC}=\frac{1}{2}KE.BH+\frac{1}{2}.CH.BH=\frac{1}{2}BH.\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\sin\widehat{O_1}\left(OK+OC\right)=\frac{1}{2}BH.\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}KC.\sin\widehat{O_1}\)

Mặt khác: tứ giác AKOH nội tiếp ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{O_1}=\widehat{A}\)

=> \(S_{BKHC}=\frac{1}{2}BH.\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}KC.\sin\widehat{A}\)

Hình tự vẽ nha

Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có: 
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1): 
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\) 
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2) 
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)

Tick plz

a) \(1+tan^2B=1+\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^2B}\)

b) Ta có: \(a.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{AH.BC}{BC}=AH\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=BC.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=BC.cos^2B\)

Tương tự \(\Rightarrow CH=BC.sin^2B\)