\(a^2+b^2+c^2\text{≥}ab+bc+ca\)

⇒\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\text{≥}2\left(ab+bc+ca\right)\)

⇒\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\text{≥}0\)

⇒\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\text{≥}0\) luôn đúng

\(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luon-dung\forall a,b\right)\)

dau"=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

dau"=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(a^2+b^2\ge2ab\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế của 3 BĐT, ta được:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\)

CMTT ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

ta áp dụng cô-si la ra 
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc 
̣̣(a - b)^2 ≥ 0 => a^2 + b^2 ≥ 2ab (1) 
(b - c)^2 ≥ 0 => b^2 + c^2 ≥ 2bc (2) 
(a - c)^2 ≥ 0 => a^2 + c^2 ≥ 2ac (3) 
cộng (1) (2) (3) theo vế: 
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab+ac+bc) 
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ac+bc 
dấu = khi : a = b = c

Bạn cm hộ mình cô si la dc k mình chưa học đến

A) a²+b²+c²+ab+bc+ca>=0 (*)

<=> 2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca>=0

<=> (a²+2ab+b²)+(b²+2bc+c²)+(c²+2ca+a²)>=0

<=> (a+b)²+(b+c)²+(c+a)²>=0

BĐT cuối luôn đúng với mọi a,b,c 

Vậy BĐT (*) đc cm

Phần B cũng tương tự nhé

a) Ta có : a² + b² + c² + ab + bc + ca = (a + b + c)²

Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\forall x\)

Nên : a² + b² + c² + ab + bc + ca \(\ge0\forall x\)

b) hình như sai đề rồi bạn à !

\(a^2+b^2=a^2-2ab+b^2+2ab=\left(a-b\right)^2+2ab\)

Vì  \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+2ab\ge2ab\left(dpcm\right)\)

\(a,\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

Do đó \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(đpcm)

Các câu sau tương tự

giả sử a²+b²+c² lớn hơn bằng ab+bc+ca=)a²+b²+c²-ab-bc-ca lớn hơn bằng 0

=)2.(a²+b²+c²-ab-bc-ca) lớn hơn bằng 0

=)2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca lớn hơn bằng 0

=)(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²) lớn hơn bằng 0

=)(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² lớn hơn bằng 0 mà (a-b)²,(b-c)²,(c-a)² luôn lớn hơn bằng 0

=)điều giả sử đúng =)điều phải chứng minh

giả sử a2+b2+c2 lớn hơn bằng ab+bc+ca=)a2+b2+c2-ab-bc-ca lớn hơn bằng 0

=)2.(a2+b2+c2-ab-bc-ca) lớn hơn bằng 0

=)2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca lớn hơn bằng 0

=)(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2) lớn hơn bằng 0

=)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 lớn hơn bằng 0 mà (a-b)2,(b-c)2,(c-a)2 luôn lớn hơn bằng 0

=)điều giả sử đúng =)điều phải chứng minh

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)