Giả sử cả 2 số đều chia hết cho 5

=> a - b chia hết cho 5

=>  2^{2n + 1} + 2^{n + 1} + 1  - (2^{2n + 1} - 2^{n + 1} + 1) = 2.2ⁿ⁺¹ chia hết cho 5

=> 2ⁿ⁺² chia hết cho 5 . Điều này không xảy ra vì 2ⁿ⁺² không tận cùng bằng 0 ; 5

=> Phải có ít nhất a hoặc b không chia hết cho 5

a = 2²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹ + 1 = (2²)ⁿ.2¹ + 2ⁿ.2¹ + 1 = 4ⁿ.2 + 2ⁿ.2 + 1 = 2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 

Vì 2.(4ⁿ.2ⁿ) là số chẵn nên 2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 là số lẻ mà 4ⁿ.2ⁿ \(\ne\) (... 0) nên  2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 \(\ne\) 0   , do đó a không chia hết cho 5.

b = 2²ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ + 1 = (2²)ⁿ.2¹ - 2ⁿ.2¹ + 1 = 4ⁿ.2 - 2ⁿ.2 + 1 = 2.(4ⁿ-2ⁿ) + 1 

Vì 2.(4ⁿ.2ⁿ) là số chẵn nên 2.(4ⁿ.2ⁿ) - 1 là số lẻ, mà 4ⁿ.2ⁿ \(\ne\) (... 0) nên  2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 \(\ne\) 0 do đó b không chia hết cho 5.

                    Suy ra điều phải chứng minh

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

Giả sử trong 2n số nguyên dương đầu tiên có đúng m số nguyên tố là p₁;p₂,...;p_m.Dễ chứng minh được rằng m⩽n

Chia 2n số nguyên dương đó thành m+1 tập con (có thể giao nhau) :A_0;A_1;A_2;...;A_m, trong đó :

A₀={1}

A_i (1⩽i⩽m) gồm p_i và tất cả các bội của nó trong 2n số nguyên dương đầu tiên.

Xét 2 trường hợp:

+) m < n 

   Khi đó m + 1 < n + 1⇒ trong n+1 số bất kỳ (chọn trong 2n số đó) chắc chắn có 2 số thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.

+)  m = n

   + Nếu trong n+1 số đó có số 1 (thuộc tập A_o) thì đpcm là hiển nhiên.

   + Nếu trong n+1 số đó không có số nào thuộc tập A₀ thì chúng chỉ nằm trong m tập con còn lại.

      Vì m<n+1 nên có ít nhất 2 số (trong n+1 số đó) thuộc cùng 1 tập con và là bội của nhau, đó là 2 số cần tìm.

Như vậy, trong mọi trường hợp, luôn tìm được 2 số là bội của nhau từ n+1 số bất kỳ chọn trong 2n số nguyên dương đầu tiên.

Nguồn: https://diendantoanhoc.net/topic/132810-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-t%E1%BB%AB-n1-s%E1%BB%91-b%E1%BA%A5t-k%C3%AC-trong-2n-s%E1%BB%91-t%E1%BB%B1-nhi%C3%AAn-%C4%91%E1%BA%A7u-ti%C3%AAn-lu%C3%B4n-t%C3%ACm-%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c-hai-s%E1%BB%91-l%C3%A0-b%E1%BB%99i-c/

Mình cx bí bày này nên giải lại cho hiểu kĩ

Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)  (1)  

với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp 

Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)

=> (1) đúng khi n = 1 

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

=> Từ giả thiết quy nạp ta có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*                                             

ai quan tam lam chi