a) Vì OP//AC(gt)

=> \(\widehat{O_2}=\widehat{C_1}\) (cặp góc soletrong) (1)

\(\widehat{A_2}=\widehat{O_1}\) (cặp góc đồng vị) (2)

Xét ΔOAC có: OA=OC(gt)

=> ΔOAC cân tại O

=> \(\widehat{A_2}=\widehat{C_1}\) (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra:

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)

Xét ΔOBP và ΔOCP có:

OP: cạnh chung

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\left(cmt\right)\)

OB=OC(gt)

=> ΔOBP=ΔOCP(c.g.c)

b) Vì: ΔOBP=ΔOCP(cmt)

=> \(\widehat{OBP}=\widehat{OCP}\)

Mà: \(\widehat{OCP}=90^o\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{OBP}=90^o\)

=>PB là tiếp tuyến của (O)

a ) Vì OP // AC (gt)

\(\Rightarrow\widehat{O_2}=\widehat{C_1}\) ( cặp góc so le trong ) (1)

\(\widehat{A}_2=\widehat{O}_1\) ( cặp goc đồng vị ) (2)

Xét \(\Delta OAC\) có : OA = OC (gt)

\(\Rightarrow\Delta OAC\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{A}_2=\widehat{C}_1\) (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra :
\(\widehat{O}_1=\widehat{O}_2\)

Xét \(\Delta OBP\) và \(\Delta OCP\) có :

OP : cạnh chung

\(\widehat{O}_1=\widehat{O}_2\left(cmt\right)\)

OB = OC (gt)

\(\Rightarrow\Delta OBP=\Delta OCP\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OBP}=\widehat{OCP}\) 

Mà : \(\widehat{OCP}=90^o\) ( gt)

\(\Rightarrow\widehat{OBP}=90^o\)

\(\Rightarrow\) PB là tiếp tuyến của đt (O)

Chúc bạn học tốt !!!

Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.

Dễ thấy ^BNA = 90⁰. Suy ra BNA ~ BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA 

Cũng dễ có BMA ~ BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK

Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 360⁰ - ^ANM - ^KNM

= (180⁰ - ^ANM) + (180⁰ - ^KNM) = ^ABM + (180⁰ - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA

=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A

=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)

Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)

Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const

Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi

=> Sin^IEL = const hay . Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi

Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).

\(\widehat{MKH}=\widehat{MCH}\)

c) Tam giác COA=tam giác BOA ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{COA}=\widehat{BOA}\)(1)

Ta có: MK//OC ( cùng vuông AC)

     MH//OA ( cùng vuông BC)

=> \(\widehat{KMH}=\widehat{AOC}\)(2)

Tương tự chứng minh đc: \(\widehat{HMI}=\widehat{AOB}\)(3)

Từ 1, 2, 3 => \(\widehat{KMH}=\widehat{HMI}\)(4)

Tứ giác KMHC nội tiếp ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{MKH}=\widehat{MCH}\)( cùng chắn cung MH) (5)

Tứ giác MIBH nội tiếp ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{MHI}=\widehat{MBI}\) (cùng chắn cung MI)(6)

Mà \(\widehat{MCH}=\widehat{MBI}\)( cùng chắn cung MB của đường tròn (O)) (7)

Từ (5), (6), (7)

=> \(\widehat{MKH}=\widehat{MHI}\)(8)

Xét tam giác KMH và tam giác HMI có:

\(\widehat{KMH}=\widehat{HMI}\)(theo (4))

\(\widehat{MKH}=\widehat{MHI}\)( theo (8)

=> tam giác KMH đông dạng tam giác HMI

a)O nằm giữa 2 điểm E và F vì Eo<Eg

b)EG-OE=OG

8-4=OG

4=OG

Vậy OG=4cm