Tham khảo:

a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :

\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\)(2 góc đối đỉnh)

GM = ME (do G đối xứng E qua M)

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow \Delta BGM = \Delta CEM(c - g - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\)(2 góc tương ứng bằng nhau)

Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE

b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE

Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE

Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE

\(\, \Rightarrow AF = \dfrac{2}{3}AI\)(định lí về trọng tâm tam giác)

Mà AI = AF + FI \( \Rightarrow \) FI = AI – AF

\( \Rightarrow FI = AI - \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)

\( \Rightarrow 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)

\( \Rightarrow \) AF = 2 FI

Ta chứng minh được \(FI;KE\) là đtb tam giác AGB;AGC

Do đó \(FI=KE=\dfrac{1}{2}AG;FI//KE\left(//AG\right)\)

Vậy FEKI là hbh

Lời giải:
Vì $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AC, AB$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow EF=\frac{1}{2}BC$ và $EF\parallel BC$ (1)

Vì $K, I$ lần lượt là trung điểm $GC, GB$ nên $KI$ là đtb của tam giác $GBC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow KI=\frac{1}{2}BC$ và $KI\parallel BC$ (2)

Từ $(1); (2)$ suy ra $EF\parallel KI$ và $EF=KI$

Tứ giác $FEKI$ có 2 cạnh đối $EF, KI$ song song và bằng nhau nên là hbh. Ta có đpcm.

Hình vẽ:

 Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD. M là trung điểm AB và N là trung điểm CD.  a/ Chứng minh AMND , MBCN là hình bình hành  b/ Chứng minh AMCN là hình bình hành.

Bài 1: 

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có 

I là trung điểm của GB

K là trung điểm của GC

Do đó: IK là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra DE//IK và DE=IK