Số số hạng của A:

90 - 1 + 1 = 90 (số)

Do 90 chia hết cho 3 nên có thể nhóm thành nhóm 3 số hạng

Ta có:

A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁸⁸ + 2⁸⁹ + 2⁹⁰)

= 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + ... + 2⁸⁸.(1 + 2 + 2²)

= 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2⁸⁸.7

= 7.(2 + 2⁴ + ... + 2⁸⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7

b) A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁰

⇒ 2A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹¹

⇒ A = 2A - A = (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹¹) - (2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁰)

= 2⁹¹ - 2

Số số hạng:

(290-21):1+1=270( số hạng)

Tổng A:(290+21) x 270:2=41985

Ta có:41986:7 hết nén A chia hết cho 7.

\(A=444......4\) (\(2n\) chữ số 4) \(=4.1111.....111\) (\(2n\) chữ số 1) \(=4.\dfrac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=222.....22\) (\(n+1\) chữ số 2) \(=2.111....11\) (\(n+1\) chữ số 1) \(=2.\dfrac{10^{n+1}-1}{9}\)

\(C=888....888\) (\(n\) chữ số 8) \(=8.111....1111\) (\(n\) chữ số 1) \(=8.\dfrac{10^n-1}{9}\)

\(\Leftrightarrow A+B+C+7=\dfrac{4,10^{2n}+2.10^{n+1}+8.10^n-14}{9}\)

Giải:

A=1/2²+1/3²+1/4²+...+1/9²

Ta có:

1/2²<1/1.2

1/3²<1/2.3

1/4²<1/3.4

...

1/9²<1/8.9

⇒A<1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/8.9

A<1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/8-1/9

A<1/1-1/9

A<8/9

Ta có:

1/2²>1/2.3

1/3²>1/3.4

1/4²>1/4.5

...

1/9²>1/9.10

⇒A>1/2.3+1/3.4+1/4.5+...+1/9.10

A>1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/9-1/10

A>1/2-1/10

A>2/5

Vậy 2/5<A<8/9 (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

a) \(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}\)

\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(\Rightarrow A=2A-A=2+2^2+...+2^{100}-1-2-2^2-...-2^{99}=2^{100}-1\)

b) \(A=1+2+2^2+...+2^{99}=\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^4\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=15+2^4.15+...+2^{96}.15=15\left(1+2^4+...+2^{96}\right)\)

\(=3.5\left(1+2^4+...2^{96}\right)\) chia hết cho 3 và 5

c) \(A=1+2+2^2+...+2^{99}\)

\(=1+2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=1+2.7+...+2^{97}.7=1+7\left(2+...+2^{97}\right)\) chia 7 dư 1

=> A không chia hết cho 7

a, Số lượng số hạng của A là:  (40-21):1+1=20 số     (1)

\(A=\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{40}\) 

\(=>A>\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\)(20 số hạng)

            \(A>\frac{1}{40}\cdot20=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\)

Vậy A> \(\frac{1}{2}\)

b, Từ (1) =>  \(A=\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{40}\)

             =>   \(A< \frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{20}\) ( 20 số hạng)

            =>      A<  \(\frac{1}{20}\cdot20=1\)

      Vậy A< 1

b, đặt cái 1/21 + 1/22 +1/23+....+1/40 là A nhé và A có 20 hạng tử

Ta  có 1/21 + 1/22 +1/ 23+......+1/30>1/30 +1/30 +....+1/30 =10/30 =1/3(*)

lại có 1/31 + 1/32+.....+1/40>1/40 + 1/40 + 1/40.....=10/40=1/4(**)

từ (*) và (**) => A> 1/3 +1/4

                       A>7/12

từng đó thì phải. Còn < 1/10 thì sai đề vì 7/12 > 1/10 mà.       Mình chỉ cm đc < 5/6 thôi

a, ta có 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54.....+1/100 > 1/100 + 1/100 + 1/100+......+1/100

=> 1/51 +1/52 +......+1/100 > 50/100 =1/2 ( vì có 50 hạng tử)

tương tự 1/51 + 1/52 +1/53 ..........+1/100 < 1/51 + 1/51 + 1/51 +1/51......

=> 1/51 + 1/52 + 1/53....+1/100 < 50/51 <1 

nên ta suy ra điều phải cm

Ta có

\(A=\left(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{80}\right)\) \(A>\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+...+\frac{1}{80}\right)\)

\(A>\frac{20}{40}+\frac{20}{60}+\frac{20}{80}\Rightarrow A>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\Rightarrow A>\frac{13}{12}\Rightarrow A>1\) (1)

LẠi có \(A=\left(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{80}\right)\)

\(A< \left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)\)

\(A< \frac{20}{20}+\frac{20}{40}+\frac{20}{60}\Rightarrow A< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Rightarrow A< \frac{11}{6}< \frac{12}{6}\Rightarrow A< 2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải CM

Lời giải:

$A=(2+2^2)+(2^3+2^4)+....+(2^{19}+2^{20})$

$=2(1+2)+2^3(1+2)+....+2^{19}(1+2)$

$=(2+2^3+...+2^{19})(1+2)=(2+2^3+...+2^{19}).3\vdots 3(1)$
---------------------

Lại có:

$A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+...+(2^{17}+2^{18}+2^{19}+2^{20})$

$=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+....+2^{17}(1+2+2^2+2^3)$

$=(1+2+2^2+2^3)(2+2^5+...+2^{17})$

$=15(2+2^5+...+2^{17})\vdots 15(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

Ta có:

A=2+2²+2³+...+2²⁰

A=(2+2²)+(2³+2⁴)...+(2¹⁹+2²⁰)

A=2.(1+2)+2³.(1+2)...+2¹⁹.(1+2)

A=2.3+2³.3...+2¹⁹.3

A=3.(2+2³+...+2¹⁹)

vậy a chia hết cho 3 vì a=3k với k là số tự nhiên

Ta có:

A=2+2²+2³+...+2²⁰

A=(2+2²+2³+2⁴)+(2⁵+2⁶+2⁷+2⁸)+...+(2¹⁷+2¹⁸+2¹⁹+2²⁰)

A=2.(1+2+2²+2³)+2⁵.(1+2+2²+2³)+...+2¹⁷.(1+2+2²+2³)

A=2.(1+2+4+8)+2⁵.(1+2+4+8)+...+2¹⁷.(1+2+4+8)

A=2.15+2⁵.15+...+2¹⁷.15

A=(15.2.+2⁵.+...+2¹⁷)

vậy a chia hết cho 15 vì a=15k với k là số tự nhiên