ta có \(\left(a-3\right);\left(b+2017\right)⋮6\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-3\right);\left(b+2017\right)⋮2\\\left(a-3\right)\left(b+2017\right)⋮3\end{cases}}\)

xét cả 2 cái chia hết cho 2 trước thì ta có a và b cùng lẻ

xét 2 cái chia hết ho 3 thì ta có 

a chia hết cho 3 và và b chi 3 dư 2

ở đây ta dùng mod thì cậu có 

\(4\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow4^a\equiv1\left(mod3\right)\)

mà \(a\equiv0\left(mod3\right)\)

      \(b\equiv2\left(mod3\right)\)

=> \(4^a+a+b\equiv0\left(mod3\right)\) => \(4^a+a+b⋮3\) (1) 

mặt khác ta có a,b lẻ => a+b chia hết cho 2 

mà \(4^a⋮2\)

=> \(4^a+a+b⋮2\) (2) 

từ (1) và (2) 

=> \(4^a+a+b⋮6\) (ĐPCM)

\(M=\left(2018+2018^2\right)+\left(2018^3+2018^4\right)+...+\left(2018^{2017}+2018^{2018}\right)\)

\(=2018\left(1+2018\right)+2018^3\left(1+2018\right)+...+2018^{2017}\left(1+2018\right)\)

\(=2018.2019+2018^3.2019+...+2018^{2017}.2019\)

\(=2019\left(2018+2018^3+...+2018^{2017}\right)⋮2019\)

b/ \(M=2018+2018^2+...+2018^{2018}\)

\(2018M=2018^2+2018^3+...+2018^{2018}+2018^{2019}\)

Lấy dưới trừ trên:

\(2018M-M=-2018+2018^{2019}\)

\(\Rightarrow2017M=2018^{2019}-2018\)

\(\Rightarrow M=\frac{2018^{2019}-2018}{2017}=\frac{2018^{2019}}{2017}-\frac{2017+1}{2017}=\frac{2018^{2019}}{2017}-1-\frac{1}{2017}\)

\(\Rightarrow M=N-\frac{1}{2017}\Rightarrow M< N\)