Vì 5(y+z) = 3(x+z)

Suy ra (x+z) / 5 = (y+z) / 3 = (x+z-y-z) / 5-3 = (x-y) / 2

Suy ra (x+z) / 5 = (x-y) / 2 tương đương (x+z) / 10 = (x-y) / 4                               (1)

2(x+y) = 3(x+z)

Suy ra (x+z) / 2 = (x+y) / 3 = (x+z-x-y) / 2-3 = y-z

(x+z) / 2 = y-z

Tương đương (x+z) / 10 = (y-z) / 5                                                                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{3}.\frac{1}{5} = \frac{y}{4}.\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}};\\\frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{y}{5}.\frac{1}{4} = \frac{z}{6}.\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\end{array}\)

Vậy  \(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\) (đpcm)

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}} = \frac{{x - y + z}}{{15 - 20 + 24}} = \frac{{ - 76}}{{19}} =  - 4\)

Vậy x = 15 . (-4) = -60; y = 20. (-4) = -80; z = 24 . (-4) = -96

đặt A=x/x+y+z    +y/y+z+t   +z/z+t+x   +t/t+x+y

ta có      x/x+y+z>x/x+y+z+t

y/y+z+t>y/x+y+z+t

z/z+t+x>z/z+t+x+y

t/t+x+y>t/x+t+y+z

=>A>x/x+y+t+z  +t/x+y+t+z  +z/x+y+t+z  +y/x+t+y+z=x+y+z+t/x+y+z+t=1>3/4  (1)

*)y/y+z+t<y+x/y+z+t+x

x/x+y+z<x+t/x+y+z+t

z/z+t+x<z+y/x+y+z+t

t/t+x+y<t+z/t+x+y+z

=>A<y+x/x+y+z+t  +x+t/x+y+z+t  +z+y/x+y+z+t  +t+z/x+y+z+t

            =y+x+x+t+z+y+t+z/x+y+z+t=2(x+y+z+t)/x+y+z+t=2<5/2   (2)

từ (1) và (2) =>3/4<A<5/2

=>

Ta có:

\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}

\(\frac{x^5}{y^4}+\frac{x^5}{y^4}+y+y+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^{10}y^3}{y^8}}=\frac{5x^2}{y}\)

Tương tự: \(\frac{2y^5}{z^4}+3z\ge\frac{5y^2}{z}\) ; \(\frac{2z^5}{x^4}+3x\ge\frac{5z^2}{x}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)+3\left(x+y+z\right)\ge5\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge5\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\ge1\)

Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

+\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)

+\(3+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\le9\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)

+\(A=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

\(x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

\(\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}=3\)

(áp dụng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Tương tự: \(xy^2+yz^2+zx^2\le3\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{3^2}{3+2.3}=1\)

\(VT=A+B\ge1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=VP\)

dvdfhfeye5

Cái đề thiếu x, y, z dương bạn nhé

Với mọi x, y, z > 0 ta luôn có

\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)    (1)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2y\right)+\left(y^3-xy^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)   (luôn đúng)

Tương tự  \(y^3+z^3\ge y^2z+yz^2\)   (2)  và   \(z^3+x^3\ge z^2x+zx^2\)   (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được  \(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\le2\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

\(VT=\frac{x^6}{x^3+x^2y+xy^2}+\frac{y^6}{y^3+y^2z+yz^2}+\frac{z^6}{z^3+z^2x+zx^2}\)

\(\ge\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{\left(x^3+y^3+z^3\right)+\left(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\right)}\ge\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{\left(x^3+y^3+z^3\right)+2\left(x^3+y^3+z^3\right)}\)

\(=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2}{3\left(x^3+y^3+z^3\right)}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

x, y, z là số thực anh ơi

Số thực thôi. Nếu x, y, z dương thì mình đã c/m rồi. Cảm ơn mọi người nhé.