Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông EGH có đường cao EH

\(\dfrac{1}{EH^2}=\dfrac{1}{EG^2}+\dfrac{1}{EF^2}\)

\(\dfrac{1}{30^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{6EF}{5}\right)^2}+\dfrac{1}{EF^2}\)

\(\Rightarrow EF=5\sqrt{61}\)\(\Rightarrow EG=\dfrac{6.5\sqrt{61}}{5}=6\sqrt{61}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác GEF vuông tại E

\(\Rightarrow GF=\sqrt{\left(5\sqrt{61}\right)^2+\left(6\sqrt{61}\right)^2}=61\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác EHG vuông tại H

\(GH=\sqrt{\left(6\sqrt{61}\right)^2-30^2}=36\)

\(\Rightarrow HF=61-36=25\)

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

F là trung điểm của CA
Do đó: EFlà đường trung bình

=>EF//AB và EF=AB/2(1)

Xét ΔABD có

H là trung điểm của DB

G la trung điểm của AD

Do đó: HG là đường trung bình

=>HG//AB và HG=AB/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//FE và HG=FE

b: HE=DC/2

EF=AB/2

mà AB=DC

nên HE=FE

Xét tứ giác EFGH có 

EF//GH

EF=GH

Do đó: EFGH là hình bình hành

mà EH=EF

nên EFGH là hình thoi

Giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác HDF, ta có:

HF² + DH² = DF²

=> 16² + DH² = 20²

=> DH² = 144 = 12²

=> DH = 12 (cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác DEH có:

DE² = 9² + 12² = 225 = 15²

=> DE = 15 (cm)

áp dụng định lý pitago vào tam giác DHF ta có:

HF² + DH² = DF²

hay 16²+ DH² = 20²

suy ra : DH²= 144 =12² 

suy ra: DH = 12

áp dụng định lý pitago vào tam giác DEH ta có :

DE² = 9²+12²= 225 = 15²

suy ra : DE = 15

Tam giác DHF vuông tại H => FD² = FH² + HD² ( Theo định lý pitago ) => DH² = FD² - FH²

=> DH² - 20² - 16² = 400 - 256 = 144 = 12² => DH = 12 (cm)

Tam giác HDE vuông tại H => DE² = DH² + HE² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15²

=> DE = 15 (cm)

Vậy DH = 12 cm; DE = 15 cm

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

XÉT TAM GIÁC AHB VÀ TAM GIÁC AHC CÓ

AB=AC(GT)

AH CHUNG

GÓC AHB = GÓC AHC

=>TAM GIÁC AHB=TAM GIÁC AHC (CGC)

C,XÉT TAM GIÁC AHE VÀ TAM GIÁC AFH CÓ

AH CHUNG

GÓC AEH=GÓC AFH =90*

A1=A2

=>TAM GIÁC AHE=TAM GIÁC AFH (GCG)

=>HE=HF (CẠNH TƯƠNG ỨNG)

c) Xét tứ giác FMHN có 

\(\widehat{NFM}=90^0\)

\(\widehat{FNH}=90^0\)

\(\widehat{FMH}=90^0\)

Do đó: FMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Hình chữ nhật FMHN có đường chéo FH là tia phân giác của \(\widehat{NFM}\)(gt)

nên FMHN là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)