\(\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)-\log_22^x\)

\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)+\log_{\frac{1}{2}}2^x\)

\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{2x+1}-3^x\right)\)

\(\Leftrightarrow4^x+4\le2^{2x+1}-3.2^x\)

\(\Leftrightarrow4^x-3.2^x-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2^x\le-1\left(L\right)\\2^x\ge4\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x\ge2\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S=\left(2;+\infty\right)\)

câu c

câu c

Cho x,y,z là các sô dương.Chứng minh rằng x/2x+y+z+y/2y+z+x+z/2z+x+y<=3/4

a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho 

\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)

b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

 \(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)

Bất phương trình tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)

1. \(\left|\frac{2x^2-x}{3x-4}\right|\ge1\) Điều kiện: \(x\ne\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{2x^2-x}{3x-4}\ge1\\\frac{2x^2-x}{3x-4}\le-1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x^2-2x+2}{3x-4}\ge0\\\frac{x^2+x-2}{3x-4}\le0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>\frac{4}{3}\\x\in(-\infty;-2]U[1;\frac{4}{3})\end{cases}}\Leftrightarrow x\in(-\infty;-2]U[1;+\infty)\backslash\left\{\frac{4}{3}\right\}\)

2.\(\hept{\begin{cases}x^2\le-2x+3\left(1\right)\\\left(m+1\right)x\ge2m-1\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+2x-3\le0\Leftrightarrow-3\le x\le1\)

+) Nếu \(m=-1\) thì (2) vô nghiệm, suy ra \(m\ne-1\)

+) Nếu \(m>-1\) thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow x\ge\frac{2m-1}{m+1}\)

Hệ BPT có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\frac{2m-1}{m+1}=1\Leftrightarrow m=2>-1\)

+) Nếu \(m< -1\)thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow x\le\frac{2m-1}{m+1}\)

Hệ BPT có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\frac{2m-1}{m+1}=-3\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}< -1\)

Vậy \(m=\left\{\frac{-2}{5};2\right\}\)

1. |2x2−x3x−4 |≥1 Điều kiện: x≠43 

⇔[

⇔[

⇔[

⇔x∈(−∞;−2]U[1;+∞)\{43 }

2.{

(1)⇔x2+2x−3≤0⇔−3≤x≤1

∣∣∣∣∣​3x−42x2−x​∣∣∣∣∣​≥1⇔⎣⎢⎢⎢⎡​​3x−42x2−x​≥13x−42x2−x​≤−1​⇔⎣⎢⎢⎢⎡​​3x−42x2−4x+4​≥03x−42x2+2x−4​≤0​⇔⎣⎢⎢⎡​​3x−4>03x−42x2+2x−4​≤0​

\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&{x>\dfrac{4}{3} } \\ &{1\le x<\dfrac{4}{3} } \\ &{x\le -2} \end{aligned}\right.⇔⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​​x>34​1≤x<34​x≤−2​ .

Tập nghiệm :S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[1;\dfrac{4}{3} \right)\cup \left(\dfrac{4}{3} ;+\infty \right)S=(−∞;−2]∪[1;34​)∪(34​;+∞).

2.

Ta có: \left\{\begin{aligned}&{x^{2} \le -2x+3} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{x^{2} +2x-3\le 0} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{-3\le x\le 1} \\ &{\left(m+1\right)x\ge 2m-1} \end{aligned}\right.{​x2≤−2x+3(m+1)x≥2m−1​⇔{​x2+2x−3≤0

Điều kiện \(x^2-1>0\Leftrightarrow\left|x\right|>1\)

Bất phương trình tương đương với :

\(\log_3\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_3\Leftrightarrow0<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<3\)

\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}1<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}\Leftrightarrow1>x^2-1>\frac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow2>x^2>\frac{9}{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}>\left|x\right|>\frac{3}{2\sqrt{2}}\) (Thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D=\left(-\sqrt{2};\frac{-3}{2\sqrt{2}}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt{2}};\sqrt{2}\right)\)

Điều kiện \(x^2-2x\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le0\end{array}\right.\) khi đó :

Bất phương trình \(\Leftrightarrow3^{\sqrt{x^2-2x}}\ge\left(3\right)^{\sqrt{\left(x-1\right)^2}-x}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x}\ge\left|x-1\right|-x\)

- Khi \(x\ge2\Rightarrow x-1>0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge-1\) đúng với mọi \(x\ge2\)

- Khi \(x\le0\Rightarrow x-1< 0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge1-2x\)

                                                                 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x\ge1-4x+4x^2\\x\le0\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = [2;\(+\infty\) )