3b : Ta có : \(P=2x\left(x+y-1\right)+y^2+1=2x^2+2xy-2x+y^2+1\)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-2x+1=\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\)

Vậy biểu thức luôn nhận giá trị ko âm với mọi x ; y 

\(a,P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-\left(x^2+x+9x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-x^2-x-9x-9\)

\(=\left(10x-x-9x\right)+\left(-5x^2-x^2\right)-9\)

\(=-6x^2-9\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2-9\le-9< 0\forall x\)

hay \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\).

\(b,Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\)

\(=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\)

\(=\left(3x^2+x^2\right)+\left(-4xy+4xy\right)+\left(-12x+12x\right)+1\)

\(=4x^2+1\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2+1\ge1>0\forall x\)

hay \(Q\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y\).

#\(Toru\)

x= -5 phải ko bn để mình còn giải 

1.Thay x=5,y=3 vào đa thức P,ta được:

2x(x+y-1)+y^2+1

=2.5(2+3-1)+3^2+1

=10.4+9+1

=40+(9+1)

=50

.Thay x=5,y=3 vào đa thức P,ta được:

2x(x+y-1)+y^2+1

=2.5(2+3-1)+3^2+1

=10.4+9+1

=40+(9+1)

=50

khó đấy

đề bai chính là cm P>=0 
ta có P=(X^2+2XY+Y^2) + (X^2- 2X+1) 
=(X+Y)^2 + (X-1)^2 
Tổng các pình phương lun >=0

Đặt \(A=\dfrac{x^2+x+1}{-2x^2+2x-2}\)

\(x^2+x+1=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>=\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

\(-2x^2+2x-2\)

\(=-2\left(x^2-x+1\right)\)

\(=-2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=-2\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\)

\(=-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}< =-\dfrac{3}{2}< 0\forall x\)

Do đó: \(A=\dfrac{x^2+x+1}{-2x^2+2x-2}< 0\forall x\)

\(\dfrac{x^2+x+1}{-2x^2+2x-2}=\dfrac{x^2+x+1}{-2\left(x^2-x+1\right)}\)

Ta thấy:

\(x^2+x+1\\=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac12+\left(\dfrac12\right)^2-\left(\dfrac12\right)^2+1\\=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\)

Vì \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

hay \(x^2+x+1>0\forall x\) (1)

Lại có:

\(x^2-x+1\\=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac12+\left(\dfrac12\right)^2-\left(\dfrac12\right)^2+1\\=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

hay \(x^2-x+1>0\forall x\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}>0\forall x\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{-2\left(x^2-x+1\right)}< 0\forall x\)

hay đa thức \(\dfrac{x^2+x+1}{-2x^2+2x-2}< 0\forall x\)

\(\text{#}Toru\)

a) Ta có: \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)=> \(\left(2x-1\right)^2+3\ge3\)

=> \(\frac{5}{\left(2x-1\right)^2+3}\le\frac{5}{3}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2x - 1 = 0 <=>  x = 1/2

Vậy MaxB = 5/3 khi x = 1/2

b) x = -5; y = 3 => P = 2. (-5).(-5 + 3 - 1) + 3² + 1 = -10. (-3) + 9 + 1 = 30 + 10 = 40

P = 2x(x + y - 1) + y² + 1

P = 2x² + 2xy - 2x + y²  + 1

P = (x² + 2xy + y²) + (x² - 2x + 1)

P = (x + y)² + (x - 1)² \(\ge\)0

=> P luôn nhận giá trị không âm với mọi x;y

a) Vì \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+3\ge3\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{5}{\left(2x-1\right)^2+3}\le\frac{5}{3}\forall x\)

hay \(B\le\frac{5}{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2x-1=0\)\(\Leftrightarrow2x=1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy \(maxB=\frac{5}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

b) - Thay \(x=-5\)và \(y=3\)vào biểu thức ta được:

\(P=2.\left(-5\right).\left(-5+3-1\right)+3^2+1=30+9+1=40\)

- Ta có: \(P=2x\left(x+y-1\right)+y^2+1=2x^2+2xy-2x+y^2+1\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)=\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

hay P luôn nhận giá trị không âm với mọi x, y ( đpcm )

Ta có: x⁴ > 0 với mọi x

và      y⁶ > 0 với mọi y

=> x⁴y⁶ > 0 với mọi x,y hay x⁴y⁶ không âm với mọi x,y