d) ( n + 7 )² - ( n - 5 )²

= n² + 14n + 49 - n² + 10n - 25

= 24n + 24

= 24 ( n + 1 ) chia hết cho 24 ( đpcm )

e) 

( 7n + 5 )² - 25

= ( 7n + 5 )² - 5²

= ( 7n + 5 - 5 ) ( 7n + 5 + 5 )

= 7n ( 7n + 10 ) chia hết cho 7 ( đpcm )

f) ( n + 6 )² - ( n - 6 )²

= ( n + 6 + n - 6 ) ( n + 6 - n + 6 )

= 2n . 12

= 24n chia hết cho 24 ( đpcm )

\(A=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Vì n-2;n-3 là hai số liên tiếp

nên (n-2)(n-3) chia hết cho 2

=>A chia hết cho 2

TH1: n=3k

=>n-3=3k-3 chia hết cho 3

TH2: n=3k+1

=>2n+1=6k+2+1=6k+3 chia hết cho 3

TH3: n=3k+2

=>n+1=3k+3 chia hết cho 3

=>A chia hết cho 6

$A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-36\right]$

$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)$

$=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)$

$\Rightarrow A$ là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

dê

A = [ n³(n²-7)²-36n ] ⋮ 7 với ∀n ϵ Z

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.4⋮25.4=100\)

b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^3-n⋮6\)

a,25^n.24

mà 25^n :5

a) \(25^{n+1}-25^n=25^n.\left(25-1\right)\)

\(=25^n.24=25^n.4.6\)

\(=\left(25^n.4\right).6⋮100\) ( do \(25^n.4⋮100\forall n\inℕ^∗\) )

b) \(n^2.\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n-1\right).\left(n^2-2n\right)\)

\(=\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)\)

Ba số trên là ba số liên tiếp

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮2\\\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right).n.\left(n-2\right)⋮6\)

hay : \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)

c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)

Đến đây tương tự câu b) thì ta có đpcm.

Ta có:\(n^4+3n^3-n^2-3n=n^3.\left(n+3\right)-n.\left(n+3\right)=\left(n+3\right).\left(n^3-n\right)=\left(n+3\right).n.\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n+3\right)⋮6\)b)Ta có:\(\left(2n-1\right)^3-2n+1=\left(2n-1\right).\left(\left(2n-1\right)^2-1\right)=\left(2n-1\right).\left(2n-1-1\right).\left(2n-1+1\right)=2n.\left(2n-1\right).\left(2n-2\right)⋮24\)

a) n²(n + 1) + 2n(n + 1) 

= (n² + 2n)(n + 1)

= n(n + 2)(n + 1)  chia hết cho 6 vì là 3 số tự nhiên liên tiếp 

b) (2n - 1)³ - (2n - 1) 

= (2n - 1).[(2n - 1)² - 1]

= (2n - 1).{ [ (2n - 1) + 1] . [ (2n - 1) -1 ] }

= *2n - 1) . 2n . (2n - 2)      chia hết cho 8 vì là 3 số chẵn liên tiếp

c) (n + 2)² - (n - 2)²

= n² + 4n - 4 - (n² - 4n + 4)

= n² + 4n - 4 - n² + 4n - 4

= 8n - 8         chia hết cho 8

\(A=\frac{n+4}{n-1}=\frac{n-1+5}{n-1}=1+\frac{5}{n-1}.\)

\(\Rightarrow A\in Z\Leftrightarrow\frac{5}{n-1}\in Z\Rightarrow n-1\inƯ_5\)

Mà \(Ư_5=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)\(\Rightarrow...\)

\(B=\frac{2n+4}{n-1}=\frac{2n-2+6}{n-1}=2+\frac{6}{n-1}\)

\(\Rightarrow B\in Z\Leftrightarrow\frac{6}{n-1}\in Z\Rightarrow n-1\inƯ_6\)

Mà \(Ư_6=\left\{\pm1;\pm2;\pm3\right\}\Rightarrow...\)