a.

Giả sử trong hai số x,y có một số chẵn; vai trò x,y như nhau; không mất tính tổng quát giả sử x chẵn ta có \(\left(xy\right)⋮2\)

Mà \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮xy\)  nên \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮2\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)

Ta có \(xy⋮4\)

Do đó \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮4\).

Mà \(x^2⋮4,y^2⋮4\)  nên \(10⋮4\)  (Điều này vô lý)

=> Giả sử trên là sai. Vậy x,y là hai số lẻ.

Đặt \(d=ƯCLN\left(x,y\right)\)

Ta có: \(x=da,b=db\) với a, b, d \(\in N\)* và \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\)

Có: \(\left(d^2a^2+d^2b^2+10\right)⋮\left(d^2ab\right)\Rightarrow\left(d^2a^2+d^2b^2+10\right)⋮d^2\Rightarrow10⋮d^2\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(x,y\right)=1\)

b. Theo đề suy ra \(kxy=x^2+y^2+10\)

Vì x,y là số lẻ nên \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)⋮4;\left(y+1\right)\left(y-1\right)⋮4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-1\right)⋮4\\\left(y^2-1\right)⋮4\end{matrix}\right.\)

Có: \(x^2+y^2+10=x^2-1+y^2-1+12\) chia hết cho 4 nên \(kxy⋮4\)

Mà ƯCLN \(\left(xy,4\right)=1\Rightarrow k⋮4\)

Giả sử trong 2 số x,y có một số chia hết cho 3; vai trò của x, y là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x⋮3\) . Ta có \(\left(xy\right)⋮3\)

Mà \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮\left(xy\right)\)

Nên \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮3\)  \(\Rightarrow\left(y^2+10\right)⋮3\Rightarrow\left(y^2+1\right)⋮3\Rightarrow\) \(y^2\) chia cho 3 dư 2 (Điều này vô lý)

=> Giả sử trên là sai. Vậy x,y là hai số không chia hết cho 3.

\(\RightarrowƯCLN\left(xy,3\right)=1\), \(x^2\) và \(y^2\) chia cho 3 dư 1.

Do đó \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮3\)  nên \(kxy⋮3\)  mà \(ƯCLN\left(xy,3\right)=1\Rightarrow k⋮3,k⋮4\)

\(ƯCLN\left(3,4\right)=1.3.4=12\Rightarrow k⋮12\)

Mà \(k\in N\)* nên \(k\ge12\)

Ta có:\(x^2+4y+4=0;y^2+4z+4=0;z^2+4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4y+4\right)+\left(y^2+4z+4\right)+\left(z^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4+y^2+4y+4+z^2+4z+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+2\right)^2=0\)

Mà\(\left(x+2\right)^2\ge0;\left(y+2\right)^2\ge0;\left(z+2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+2\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=0\\y+2=0\\z+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-2\\z=-2\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=-2}\)

Vậy\(x^{10}+y^{10}+z^{10}=x^{10}+x^{10}+x^{10}\)                         

                    \(=3\cdot x^{10}=3\cdot\left(-2\right)^{10}=3\cdot1024=3072\)

"=" là dấu "+" đó các bạn

Ta có (x¹⁰ - y¹⁰) = (x⁵ + y⁵)(x⁵ - y⁵) = (x⁵ - y⁵)(x + y)(x⁴ - x³ y + x² y² - xy³ + y⁴)

Xong

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+10}+\sqrt{y+10}\le\sqrt{2\left(x+y+20\right)}\) (\(x+y>0\))

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+20\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)-40\le0\)

\(\Rightarrow\left(x+y+1+\sqrt{41}\right)\left(x+y-1-\sqrt{41}\right)\le0\)

\(\Rightarrow x+y-1-\sqrt{41}\le0\)

\(\Rightarrow x+y\le1+\sqrt{41}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\)