Chương 4: SỐ PHỨC

\(\left|z_1-2-5i\right|=\left|z_2-1\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2z_1-4-10i\right|=2\\\left|z_2-1\right|=1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(2z_1=z_3\)

Tập hợp biểu diễn số phức \(z_3\) là các điểm A thuộc đường tròn \(\left(C_3\right)\) tâm \(I_3\left(4;10\right)\) bán kính \(R_3=2\)

Tập hợp biểu diễn số phức \(z_2\) là các điểm B thuộc đường tròn \(\left(C_2\right)\) tâm \(I_2\left(1;0\right)\) bán kính \(R_2=1\)

Đặt \(z=x+yi\), giả thiết trở thành:

\(\left|x-\left(y-4\right)i\right|=\left|\left(x-8\right)+\left(y+4\right)i\right|\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-4\right)^2=\left(x-8\right)^2+\left(y+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x-y-8=0\)

Tập hợp các điểm biểu diễn z là những điểm M thuộc đường thẳng d: \(x-y-8=0\)

\(P=\left|z-z_3\right|+\left|z-z_2\right|=MA+MB\)

Gọi I là điểm đối xứng \(I_2\left(1;0\right)\) qua d \(\Rightarrow I\left(4;-3\right)\)

\(\Rightarrow\)Đường tròn (C) đối xứng \(\left(C_2\right)\) qua d có pt: \(\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=1\)

\(\overrightarrow{I_3I}=\left(0;-13\right)\Rightarrow I_3I=13\)

\(P_{min}\) khi M là giao điểm của \(I_3I\) và d

Khi đó \(\left|2z_1-z_2\right|=\left|z_3-z_2\right|=AB=I_3I-\left(R_3+R_2\right)=13-\left(2+1\right)=10\)

Lời giải:
Ta có:

$\sqrt{(a-2)^2+(b+1)^2}=2$
$\Rightarrow (a-2)^2+(b+1)^2=4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(a-2)^2+(b+1)^2](1^2+2^2)\geq [(a-2)+2(b+1)]^2$
$\Leftrightarrow 20\geq (a+2b)^2$

$\Rightarrow a+2b\leq \sqrt{20}$

Vậy $S_{\max}=\sqrt{20}$

Ta có : \(\left|3z-i\right|+\left|3-3i\right|\ge\left|3z+3-4i\right|=5\)

\(\Rightarrow\left|3z-i\right|+3\sqrt{2}\ge5\) \(\Rightarrow\left|3z-i\right|\ge5-3\sqrt{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow3z-i=k\left(3-3i\right)\left(k>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3z=k\left(3-3i\right)+i\)

Khi đó : \(\left|k\left(3-3i\right)+i+3-4i\right|=5\)

\(\Leftrightarrow2\left(3k+3\right)^2=25\) \(\Leftrightarrow18\left(k+1\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}-1\\k=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}+1\end{matrix}\right.\)   ( t/m )

\(\Rightarrow z=...\)

Đặt \(z_1=x+yi\Rightarrow z_2=x-yi\)

\(\Rightarrow z_1z_2=x^2+y^2\)

\(\left|z_1^2\right|+\left|z_2^2\right|=10\Leftrightarrow\left|\left(x+yi\right)^2\right|+\left|\left(x-yi\right)^2\right|=10\)

\(\Leftrightarrow\left|x^2-y^2+2xyi\right|+\left|x^2-y^2-2xyi\right|=10\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2-y^2\right)^2+4x^2y^2}+\sqrt{\left(x^2-y^2\right)^2+4x^2y^2}=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+4x^2y^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=5\)

Δ=(a-2)^2-4(a^2-2a)

=-3a^2+4a+4

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -3a^2+4a+4<>0

=>a<>2 và a<>-2/3

|z1-z2|=|z1+z2|

=>(z1-z2)^2=(z1+z2)^2

=>z1z2=0

=>a^2-2a=0

=>a=0(nhận) hoặc a=2(loại)

=>Có 1 giá trị

Tập hợp biểu diễn z là elip có trục lớn \(2a=16\) và tiêu cự \(2c=12\)

\(\Rightarrow\left|z_{max}\right|=8\) khi điểm biểu diễn z trùng với hai đỉnh nằm trên trục lớn \(\Rightarrow z=\pm8\)

\(\left|z\right|_{min}=b=\sqrt{a^2-c^2}=2\sqrt{7}\) khi điểm biểu diễn z trùng với 2 đỉnh nằm trên trục nhỏ \(\Rightarrow z=\pm2i\sqrt{7}\)

\(z=x+yi\Rightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(\Rightarrow6x-8y-25=0\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{6x-25}{8}\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{x^2+\left(\dfrac{6x-25}{8}\right)^2}=\dfrac{5}{8}\sqrt{\left(2x-3\right)^2+16}\ge\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-2\Rightarrow z=\dfrac{3}{2}-2i\)

Không tồn tại \(\left|z\right|_{max}\)

Do \(z_1;z_2\) là 2 nghiệm của pt, đặt \(z_1=x+yi\Rightarrow z_2=x-yi\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}z_1+z_2=2x=4a\\z_1z_2=x^2+y^2=b^2+2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2a\\x^2+y^2=b^2+2\end{matrix}\right.\) (1)

\(z_1+2i.z_2=3+3i\Leftrightarrow x+yi+2i\left(x-iy\right)=3+3i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=3\\y+2x=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có 1 cặp số thực thỏa mãn