Question

Cho các số phức \(z,z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left|z_1-2-5i\right|=\left|z_2-1\right|=1\) và \(\left|\overline{z}+4i\right|=\left|z-8+4i\right|\) . Khi biểu thức \(P=\left|z-2z_1\right|+\left|z-z_2\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left|2z_1-z_2\right|\) bằng:

A. \(10\)                 B. \(2\sqrt{17}-\sqrt{2}\)                  C. \(10-\sqrt{2}\)                   D. \(2\sqrt{17}\)

Answer 1

\(\left|z_1-2-5i\right|=\left|z_2-1\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|2z_1-4-10i\right|=2\\\left|z_2-1\right|=1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(2z_1=z_3\)

Tập hợp biểu diễn số phức \(z_3\) là các điểm A thuộc đường tròn \(\left(C_3\right)\) tâm \(I_3\left(4;10\right)\) bán kính \(R_3=2\)

Tập hợp biểu diễn số phức \(z_2\) là các điểm B thuộc đường tròn \(\left(C_2\right)\) tâm \(I_2\left(1;0\right)\) bán kính \(R_2=1\)

Đặt \(z=x+yi\), giả thiết trở thành:

\(\left|x-\left(y-4\right)i\right|=\left|\left(x-8\right)+\left(y+4\right)i\right|\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-4\right)^2=\left(x-8\right)^2+\left(y+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x-y-8=0\)

Tập hợp các điểm biểu diễn z là những điểm M thuộc đường thẳng d: \(x-y-8=0\)

\(P=\left|z-z_3\right|+\left|z-z_2\right|=MA+MB\)

Gọi I là điểm đối xứng \(I_2\left(1;0\right)\) qua d \(\Rightarrow I\left(4;-3\right)\)

\(\Rightarrow\)Đường tròn (C) đối xứng \(\left(C_2\right)\) qua d có pt: \(\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=1\)

\(\overrightarrow{I_3I}=\left(0;-13\right)\Rightarrow I_3I=13\)

\(P_{min}\) khi M là giao điểm của \(I_3I\) và d

Khi đó \(\left|2z_1-z_2\right|=\left|z_3-z_2\right|=AB=I_3I-\left(R_3+R_2\right)=13-\left(2+1\right)=10\)