Chương 4: SỐ PHỨC

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left|z-2+3i\right|=3\Leftrightarrow\left|x+yi-2+3i\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2+\left(y+3\right)i\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\)

các điểm biểu diễn số phức \(z\) cách đều điểm \(I\left(2;4\right)\) một khoảng 2 nên quỹ tích \(z\) là đường tròn tâm \(I\left(2;4\right),R=2\)

Đặt \(M\left(z\right),N\left(1;-2\right)\), bài toán trở thành tìm max min của độ dài đoạn \(MN\)

Do \(IN=\sqrt{37}>2\)

Nên max \(MN=IN+R=\sqrt{37}+2;min\)\(MN=IN-R=\sqrt{37}-2\)

Có thể đưa về hàm số:

\(AB=2\Rightarrow MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{4-MA^2}\)

Đặt \(MA=t\) với \(0\le t\le2\) \(\Rightarrow MB=\sqrt{4-t^2}\)

\(P=MA+2MB=f\left(t\right)=t+2\sqrt{4-t^2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(f'\left(t\right)=1-\dfrac{2t}{\sqrt{4-t^2}}=0\Rightarrow2t=\sqrt{4-t^2}\Rightarrow5t^2=4\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

\(f\left(0\right)=4\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=2\sqrt{5}\Rightarrow P_{max}=2\sqrt{5}\)

Mọi điểm M biểu diễn z đều phải thỏa mãn 2 điều kiện: vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng \(\Delta\)  (tham số P)

Do đó, M là giao điểm của (C) và \(\Delta\)

Hay tham số P  phải thỏa mãn sao cho (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung

Hay hệ pt nói trên có nghiệm (thật ra chi tiết đó là thừa, chỉ cần biện luận (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung \(\Rightarrow d\left(I;\Delta\right)\le R\) là đủ)