Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có: \(\lim_{x\to \infty} \frac{x-3}{x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{1-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1}\)

Do đó tiệm cận ngang : \(y=1\)

\(\lim _{x\to -1}\frac{x-3}{x+1}=\lim_{x\to -1}(1-\frac{4}{x+1})=1-\lim _{x\to -1}\frac{4}{x+1}=\infty\)

Do đó tiệm cận đứng \(x=-1\)

Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận thì \(I(-1;1)\)

Ta có: \(y'=\frac{4}{(x+1)^2}\) nên pt tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là:

\(d:y=\frac{4}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0-3}{x_0+1}\)

Giao điểm \(d\cap \text{TCĐ}\) là: \(A=\left(-1; \frac{x_0-7}{x_0+1}\right)\)

Giao điểm \(d\cap \text{TCN}\) là: \(B=(2x_0+1,1)\)

Do đó: \(IA=|\frac{x_0-7}{x_0+1}-1|=|\frac{-8}{x_0+1}|\)

\(IB=|2x_0+1-(-1)|=2|x_0+1|\)

Do đó diện tích tam giác hợp bởi ba đường là:

\(S_{IAB}=\frac{IA.IB}{2}=\frac{|\frac{-8}{x_0+1}|.2|x_0+1|}{2}=8\) (đơn vị diện tích)

Lời giải:

Ta có: \(y'=-2x\) nên phương trình tiếp tuyến tại điểm \((1;3)\) là:

\(y=-2(x-1)+3\Leftrightarrow y=-2x+5\) \((d)\)

Khi đó, \(\left\{\begin{matrix} (d)\cap Ox=\left(\frac{5}{2},0\right)\\ (d)\cap Oy=(0,5)\end{matrix}\right.\)

Suy ra độ dài hai cạnh góc vuông là: \(\frac{5}{2}\) và $5$

Do đó, diện tích tam giác vuông là:

\(S=\frac{1}{2}.\frac{5}{2}.5=\frac{25}{4}\) (đơn vị diện tích)

Ta có : \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\) và \(y'=4x^2-2\left(2m+1\right)x+m+2\)

Suy ra \(y'\left(0\right)=m+2\)

Tiếp tuyến của d cắt Ox tại \(B\left(-\frac{1}{3m+6};0\right)\) (m=-2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với 2 trục tọa độ là :

\(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\left|\frac{-1}{3m+6}\right|=\frac{1}{18\left|m+2\right|}\)

Theo giả thiết ta có : \(\frac{1}{18\left|m+2\right|}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\left|m+2\right|=\frac{1}{6}\)

                                                  \(\Leftrightarrow m=-\frac{13}{6}\) hoặc \(m=-\frac{11}{6}\)

Có_{\(x\rightarrow\mp\infty\)} lim _{\(\dfrac{3x-2}{2x-3}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}\)} là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

_{\(x\rightarrow\dfrac{3^-}{2}\)}lim \(\dfrac{3x-2}{2x-3}=+\infty\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có: \(\lim_{x\mapsto +\infty}\frac{3x-2}{2x-3}=\frac{3}{2}=\lim_{x\mapsto +\infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{2-\frac{3}{x}}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)là tiệm cận ngang

Có: \(\lim _{x\mapsto \frac{3}{2}^+}y=\lim_{x\mapsto \frac{3}{2}^+}\frac{3x-2}{2x-3}=+\infty\) nên \(x=\frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng

\(y=\dfrac{3x-2}{2x-3}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4x-6}\)

tịm cận đứng x =3/2

tiệm cận ngang x =6/4=2/3

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)

           \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)

           \(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)

Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)

                       \(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)

Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.

Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)

Đáp án của mình là D.

Lời giải:

Ta có \(y=\frac{3x-2}{x-2}\Rightarrow y'=\frac{-4}{(x-2)^2}\)

Gọi \(a\) là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng tiếp tuyến cần tìm.

PTTT: \(y=\frac{-4}{(a-2)^2}(x-a)+\frac{3a-2}{a-2}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{-4x}{(a-2)^2}+\frac{3a^2-4a+4}{(a-2)^2}\) \((d)\)

Ta có:

\(d\cap Ox =\left (\frac{3a^2-4a+4}{4},0\right)\)

\(d\cap Oy=\left(0,\frac{3a^2-4a+4}{(a-2)^2}\right)\)

Để PTTT tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân thì :

\(\left |\frac{3a^2-4a+4}{4}\right|=\left |\frac{3a^2-4a+4}{(a-2)^2}\right|\)

\(\leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3a^2-4a+4=0\\\left(a-2\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

Từ đây ta thu được $a=4$ hoặc $a=0$

Do đó PTTT là: \(\left[{}\begin{matrix}y=-x+9\\y=-x+1\end{matrix}\right.\)

Đợi khi nào mk học đã nha!!Mk hứa mk sẽ giải bài này!!

Lời giải:

Ta có \(y=\frac{3x+6}{x-1}\Rightarrow y'=\frac{-9}{(x-1)^2}\)

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị C là \(M\left(x_0,\frac{3x_0+6}{x_0-1}\right)\)

PTTT: \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{-9}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{3x_0+6}{x_0-1}=\frac{-9x}{(x_0-1)^2}+\frac{3x_0^2+12x_0-6}{(x_0-1)^2}\)

Để ĐT trên song song với \(d:3x+4y-21=0\) thì:

\(\frac{-9}{(x_0-1)^2}=\frac{-3}{4}\Leftrightarrow x_0=1\pm 2\sqrt{3}\)

Do đó PTTT là: \(y=\frac{-3x}{4}+\frac{15\pm 12\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow 3x+4y-(15\pm 12\sqrt{3})=0\)

Lời giải:

Gọi hoành độ tiếp điểm là \(m\). PT tiếp tuyến là:

\(y=y'(m)(x-m)+y(m)=\frac{-1}{(2m+3)^2}(x-m)+\frac{m+2}{2m+3}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{2m^2+8m+6-x}{(2m+3)^2}(d)\)

$A,B$ lần lượt thuộc $Ox,Oy$ nên có tọa độ là \((a,0);(0,b)\)

Mặt khác \(A,B\in (d)\Rightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} 0=\frac{2m^2+8m+6-a}{(2m+3)^2}\rightarrow a=2m^2+8m+6\\ b=\frac{2m^2+8m+6}{(2m+3)^2}\end{matrix}\right.\)

Tam giác $AOB$ vuông cân tại $O$. Vì hiển nhiên tam giác trên vuông nên chỉ xét tính chất cân. Từ đây ta có \(OA^2=OB^2\Leftrightarrow a^2=b^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{(2m^2+8m+6)^2}{(2m+3)^4}=(2m^2+8m+6)^2\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=-2\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Suy ra PTTT có thể là: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-x}{9}\\y=-\left(x+2\right)\\y=-x\end{matrix}\right.\)

Vì $A,B$ không thể trùng $O$ nên PTTT là \(y=-(x+2)\)