Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\).

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) và \(x_1< x_2\) thì \(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\), tức là

                        \(x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\) ;

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) và \(x_1< x_2\) thì \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\), tức là

                        \(x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(K\) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên \(K\).

Nhận xét:

a) \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(K\) \(\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0\), \(\forall x_1,x_2\in K\) , (\(x_1\ne x_2\)) ;

    \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(K\) \(\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0\), \(\forall x_1,x_2\in K\), (\(x_1\ne x_2\)).

b) Nếu hàm số đồng biến trên \(K\) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải ;

    Nếu hàm số nghịch biến trên \(K\) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí:

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên \(K\).

a) Nếu \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in K\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(K\).

b) Nếu \(f'\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in K\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(K\).

Chú ý: Nếu \(f'\left(x\right)=0\), \(\forall x\in K\) thì \(f\left(x\right)\) không đổi trên \(K\).

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

      a) \(y=2x^4+1\)    ;

      b) \(y=\sin x\) trên khoảng \(\left(0;2\pi\right)\).

Giải:

a) Hàm số đã cho xác định trên \(R\).

Ta có \(y'=8x^3\). Bảng biến thiên:

 Vậy hàm số \(y=2x^4+1\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\), đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\).

b) Xét trên khoảng \(\left(0;2\pi\right)\) ta có \(y'=\cos x\). Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên các khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'\left(x\right)\ge0\) (\(f'\left(x\right)\le0\)), \(\forall x\in K\) và \(f'\left(x\right)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên \(K\).

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=2x^3+6x^2+6x-7\).

Giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi \(x\in R\).

Ta có \(y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\)

Do đó \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) và \(y'>0\) với mọi \(x\ne-1\)

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn  đồng biến.

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Quy tắc

        1. Tìm tập xác định.

        2. Tính đạo hàm \(f'\left(x\right)\). Tìm các điểm \(x_i\left(i=1,2,3,...,n\right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

        3. Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

        4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

Ta có: \(y'=x^2-x-2\) , \(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.\). Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;2\right)\).

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\dfrac{x-1}{x+1}\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\ne-1\).

Ta có: \(y'=\dfrac{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}\). \(y'\) không xác định tại \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).

Ví dụ 5: Chứng minh rằng \(x>\sin x\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số \(f\left(x\right)=x-\sin x\).

Giải:

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x-\sin x\) \(\left(0\le x< \dfrac{\pi}{2}\right)\),

Ta có \(f'\left(x\right)=1-\cos x\ge0\) (\(f'\left(x\right)=0\) chỉ tại \(x=0\)) nên ta có \(f\left(x\right)\) đồng biến trên nửa khoảng \([0;\dfrac{\pi}{2})\).

Do đó, với \(0< x< \dfrac{\pi}{2}\) ta có \(f\left(x\right)=x-\sin x>f\left(0\right)=0\)

hay \(x>\sin x\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\).