Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Chọn B

Lời giải:

Vì PTTT của $y=\frac{x-2}{x+1}$ tại điểm $x=x_0$ song song với $y=3x-2$ nên:

$y'(x_0)=3$

$\Leftrightarrow \frac{3}{(x_0+1)^2}=3$

$\Leftrightarrow x_0=0$ hoặc $x_0=-2$
PTTT cần tìm: 

$y=3(x-0)+y(0)=3x+\frac{0-2}{0+1}=3x-2$

$y=3(x+2)+y(-2)=3(x+2)+\frac{-2-2}{-2+1}=3x+6+4=3x+10$

Lời giải:
$y=x^3+3x^2-4$

$\Rightarrow y'=3x^2+6x$

$\Rightarrow y'(x_0)=3.1^2+6.1=9$

$y_0=1^3+3.1^2-4=0$

PTTT của đths tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là:

$y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0=9(x-1)+0=9x-9$

ĐTHS có 2 tiệm cận là \(x=1\) và \(y=2\) \(\Rightarrow\) giao điểm 2 tiệm cận là \(I\left(1;2\right)\)

\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(a\) là hoành độ tiếp điểm \(\Rightarrow\) pttt tại điểm có hoành độ bằng a có dạng:

\(y=-\dfrac{4}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a+2}{a-1}\) (1)

Giao điểm với TCĐ: \(x=1\Rightarrow y=\dfrac{2a+6}{a-1}\) \(\Rightarrow A\left(1;\dfrac{2a+6}{a-1}\right)\)

\(\Rightarrow IA=\sqrt{\left(\dfrac{2a+6}{a-1}-2\right)^2}=\dfrac{8}{\left|a-1\right|}\)

Giao điểm với TCN: \(y=2\Rightarrow x=2a-1\) \(\Rightarrow B\left(2a-1;2\right)\)

\(\Rightarrow IB=\sqrt{\left(2a-1-1\right)^2}=2\left|a-1\right|\)

\(\Rightarrow\) Chu vi tam giác:

\(IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}\ge2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}=8+4\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\dfrac{8}{\left|a-1\right|}=2\left|a-1\right|\Rightarrow\left(a-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1)\(\Rightarrow y=-x-1\) và \(y=-x+7\)

20/ \(y'=-2x+4>0\Leftrightarrow x< 2\Rightarrow x\in\left(-\infty;2\right)\)

21/\(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\\overrightarrow{AB}\uparrow\downarrow\overrightarrow{CD}\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}\)

23/\(y'=m+5;\left\{{}\begin{matrix}y'>0\Leftrightarrow m>-5\\y'< 0\Leftrightarrow m< -5\end{matrix}\right.\Rightarrow A\)

D. 2

Kẻ đường thẳng `y=f(x)=5` -> Số giao điểm = số nghiệm.

\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(m;\dfrac{2m-1}{m+1}\right)\) là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến tại M:

\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{2m-1}{m+1}\)

\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+2m^2-2m-1=0\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(\dfrac{\left|-\left(m+1\right)^2+2m^2-2m-1\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=1\)

Bạn tự giải ra m nhé