Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\), đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=kx+m\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2x}{\left(x-1\right)^2}+m\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m+1=0\) (*)

Để từ M chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho \(\Leftrightarrow\) (*) có đúng 1 nghiệm. 

Do (*) không có nghiêm x = 1 nên (*) có đúng 1 nghiệm

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\\Delta'=2m+2=0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=1\\m=-1\end{array}\right.\)

Vậy có 2 điểm \(M_1\left(0;1\right);M_2\left(0;-1\right)\) thỏa mãn bài toán

Lời giải:

Điều kiện để hai ĐTHS tiếp xúc nhau là hpt

\(\left\{\begin{matrix} 2x^3-(m+3)x^2+18mx+7=15\\ y'=6x^2-2(m+3)x+18m=15'=0\end{matrix}\right.\) có ít nhất một nghiệm

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-x^2(m+3)}{3}+12mx-8=0\\ 3x^2-(m+3)x+9m=0\end{matrix}\right.\) có nghiệm

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_{1}=324m^2-24(m+3)>0\\ \Delta_{2}=(m+3)^2-108m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 27m^2-2m-6>0\\ m^2-102m+9>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{1-\sqrt{163}}{27}\\m>3\left(17+12\sqrt{2}\right)\end{matrix}\right.\)

y' = x²+2x

y'' = 2x+2

y'' = 0 → x = -1

Đồ thị (C) tại điểm x = -1 là nghiệm của y''=0 là 1 đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm

chết. mình chọn nhầm. là toán 11 nhé