Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1.

\(4x^3-6x^2+m=0\Leftrightarrow4x^3-6x^2=-m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=4x^3-6x^2\)

\(f'\left(x\right)=12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

BBT:

Từ BBT ta thấy đường thẳng \(y=-m\) cắt \(y=4x^3-6x^2\) tại 3 điểm pb khi:

\(-2< -m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

2.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{x-3}{x+1}=x+m\)

\(\Rightarrow x-3=\left(x+m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+m+3=0\) (1)

Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4\left(m+3\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< -2\end{matrix}\right.\)

3.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{x+1}{x-1}=-2x+m\)

\(\Leftrightarrow x+1=\left(x-1\right)\left(-2x+m\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+1\right)x+m+1=0\) (1)

bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2-8\left(m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-7\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x-\dfrac{2}{log_3\left(x+1\right)}\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x>-1\\x\ne0\end{matrix}\right.\)

\(f'\left(x\right)=1+\dfrac{2}{\left(x+1\right)log_3^2\left(x+1\right).ln3}>0\) ; \(\forall x\in D\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên TXĐ

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\left(x-\dfrac{2}{log_3\left(x+1\right)}\right)=-1-\dfrac{2}{-\infty}=-1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+\dfrac{2}{-log_3\left(x+1\right)}\right)=0+\dfrac{2}{0}=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x-\dfrac{2}{log_3\left(x+1\right)}\right)=0-\dfrac{2}{0}=-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x-\dfrac{2}{log_3\left(x+1\right)}\right)=+\infty-0=+\infty\)

Ta có BBT:

Từ BBT ta thấy \(y=m\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 2 điểm khi và chỉ khi \(m>-1\)

\(\Rightarrow\) Có 2022 giá trị nguyên thỏa mãn

Đơn giản là hãy đặt \(\sqrt{6-x}=t\ge0\)

Do x và t nghịch biến nhau nên \(y=f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(-8;5\right)\) đồng nghĩa \(y=f\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left(1;\sqrt{14}\right)\) (tại sao lại cho con số này nhỉ, (-10;5) chẳng hạn có tốt ko?)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(t\right)\le0\\t+m=0\text{ vô nghiệm trên (0;\sqrt{14})}\end{matrix}\right.\)  

\(\Leftrightarrow...\)

\(y'=3x^2+m+\dfrac{1}{x^6}\ge0\) ; \(\forall x>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+\dfrac{1}{x^6}\ge-m\)

\(\Leftrightarrow-m\le\min\limits_{x>0}\left(3x^2+\dfrac{1}{x^6}\right)\)

Ta có: \(3x^2+\dfrac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\dfrac{1}{x^6}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^6}{x^6}}=4\)

\(\Rightarrow-m\le4\Rightarrow m\ge-4\)

Tra loi gap gium minh