Lời giải:
Tìm đạo hàm theo biến $y$, bạn chỉ cần coi $x$ là một tham số rồi sử dụng công thức như bình thường thôi.
\(f(y)=y.e^{xy}.\sin y\)
\(\Rightarrow f'(y)=(y.e^{xy})'\sin y+y.e^{xy}(\sin y)'\)
\(=[y'.e^{xy}+y(e^{xy})']\sin y+y.e^{xy}.\cos y\)
\(=(e^{xy}+yxe^{xy})\sin y+y.e^{xy}\cos y\)
----------------------------------
Tính đạo hàm cấp 2.
Theo biến $x$
\(f(x)=e^{xy}\sin y\)
\(\Rightarrow f'(x)=\sin y(e^{xy})'=\sin y.ye^{xy}\)
\(\Rightarrow f''(x)=(y\sin y.e^{xy})'=y\sin y(e^{xy})'=y^2\sin y.e^{xy}\)
Theo biến $y$
\(f(y)=e^{xy}.\sin y\)
\(\Rightarrow f'(y)=(e^{xy})'\sin y+(\sin y)'e^{xy}\)
\(=x.e^{xy}\sin y+\cos y.e^{xy}\)
\(\Rightarrow f''(y)=(xe^{xy}.\sin y+\cos y.e^{xy})'\)
\(=(x.e^{xy}\sin y)'+(\cos y.e^{xy})'\)
\(=(x.e^{xy})'\sin y+(\sin y)'.xe^{xy}+(\cos y)'e^{xy}+\cos y(e^{xy})'\)
\(=x^2e^{xy}.\sin y+\cos y.x.e^{xy}-\sin y.e^{xy}+x\cos y.e^{xy}\)