Bài 1.1: Phương trình mặt cầu

Do (S) tiếp xúc Oxy \(\Rightarrow R=\left|z_I\right|=2\)

Phương trình (S):

\(\left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2+\left(z-2\right)^2=4\)

Gọi I(a;b;c) và r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).

Phương trình mặt cầu (S) có dạng: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r².

a) (S) đi qua các điểm C(2;-4;3), (2;0;0), (0;-4;0) và (0;0;3).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-a\right)^2+\left(-4-b\right)^2+\left(3-c\right)^2=r^2\\\left(2-a\right)^2+b^2+c^2=r^2\\a^2+\left(-4-b\right)^2+c^2=r^2\\a^2+b^2+\left(3-c\right)^2=r^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a=1, b=-2, c=3/2, r²=29/4.

Phương trình cần tìm là: (S): (x-1)²+(y+2)²+(z-3/2)²=29/4.

b) (S) đi qua các điểm C(2;-4;3), (2;-4;0), (2;0;3) và (0;-4;3).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-a\right)^2+\left(-4-b\right)^2+\left(3-c\right)^2=r^2\\\left(2-a\right)^2+\left(-4-b\right)^2+c^2=r^2\\a^2+\left(-4-b\right)^2+\left(3-c\right)^2=r^2\\\left(2-a\right)^2+b^2+\left(3-c\right)^2=r^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a=1, b=-2, c=3/2, r²=29/4.

Phương trình cần tìm là: (S): (x-1)²+(y+2)²+(z-3/2)²=29/4.

Gọi \(A\left(x_0;0;0\right)\) là giao điểm của \(\left(S\right)\) với trục \(Ox\) (\(x_0\ne0\))

Ta có: \(x_0^2-2x_0=0\Leftrightarrow x_0\left(x_0-2\right)=0\Leftrightarrow x_0-2=0\Leftrightarrow x_0=2\)

\(\Rightarrow A\left(2;0;0\right)\)

Gọi \(B\left(0;y_0;0\right)\) là giao điểm của \(\left(S\right)\) với trục \(Oy\) (\(y_0\ne0\))

Ta có: \(y_0^2-2y_0=0\Leftrightarrow y_0\left(y_0-4\right)=0\Leftrightarrow y_0-4=0\Leftrightarrow y_0=4\)

\(\Rightarrow B\left(0;4;0\right)\)

Gọi \(C\left(0;0;z_0\right)\) là giao điểm của \(\left(S\right)\) với trục \(Oz\) (\(z_0\ne0\))

Ta có: \(z_0^2-6z_0=0\Leftrightarrow z_0\left(z_0-6\right)=0\Leftrightarrow z_0-6=0\Leftrightarrow z_0=6\)

\(\Rightarrow C\left(0;0;6\right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) là: \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1\)

\(\Leftrightarrow6x+3y+2z-12=0\). 

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện:

\(R=\frac{1}{2}\sqrt{\left(-1\right)^2+2^2+\left(-3\right)^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}\)

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất qua O;A;B khi có tâm là trung điểm AB

\(\Leftrightarrow\) Tọa độ tâm: \(\left(2;0;-1\right)\)

\(R=d\left(I;\alpha\right)=\frac{\left|1-2.2+2.5+2\right|}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3\)

Phương trình mặt cầu:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-5\right)^2=9\)

Gọi tọa độ tâm mặt cầu là \(I\left(0;a;0\right)\)

Khoảng cách từ I đến Oxz: \(R=d\left(I;Oxz\right)=\left|y_I\right|=\left|b\right|\Rightarrow b=5\)

Phương trình mặt cầu:

\(x^2+\left(y-5\right)^2+z^2=25\)