Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Chọn B

Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $I$ cố định.

\(\vec{MA}^2+\vec{MB^2}=\left(\vec{MI}+\vec{IA}\right)^2+\left(\vec{MI}+\vec{IB}\right)^2\)

\(=2.\vec{MI^2}+IA^2+IB^2+2\vec{MI}\left(\vec{IA}+\vec{IB}\right)\)

\(=2.\vec{MI^2}+IA^2+IB^2\)  (do $I$ là trung điểm $AB$)

Mặt khác, $IA^2$ và $IB^2$ không đổi, nên để $MA^2+MB^2$ nhỏ nhất, thì $MI^2$ nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $MI$ vuông góc với $Ox$.

Đến đây, em tự suy nghĩ và làm nốt nhé.

\(cos\left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}{\left|\overrightarrow{b}\right|.\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}^2}{1.\sqrt{3}}=\dfrac{2.1.cos\dfrac{\pi}{3}-1^2}{\sqrt{3}}=0\)

\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=90^0\)

Hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên (Oxz) có tung độ bằng 0 và hoành độ, cao độ ko đổi

Hay \(M\left(1;0;-2\right)\)

\(\overrightarrow{B'D'}=\left(2;-2;0\right)\)

Gọi \(B\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BA}=\left(2-x;1-y;2-z\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-2-x;3-y;2-z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B'D'}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+\left(-2-x\right)=2\\1-y+\left(3-y\right)=-2\\2-z+\left(2-z\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-1;3;2\right)\)

Chọn A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

\(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{A'G}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{B'G}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{C'G}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)

Goi G la trong tam tam giac A'B'C'

Lai co: \(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow G'\equiv G\Rightarrow G'=\left(1;0;-2\right)\)

CHỌN A

Bạn ghi rõ đề ra được ko nhỉ (nếu khó ghi thì có thể chụp hình và gửi)

Chứ đề bài thế này thì không dịch được.

\(\overrightarrow{OC}=-3i+2j+5k\Rightarrow C\left(-3;2;5\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;8;0\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-4;5;4\right)\end{matrix}\right.\)

Hai vecto \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) không cùng phương nên A;B;C tạo thành 1 tam giác

b. Gọi \(E\left(x;y;z\right)\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\left(x-2;y-5;z-1\right)\)

\(\overrightarrow{OA}=\left(1;-3;1\right)\) , đồng thời OA=2BE

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{BE}\\\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{BE}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(1;-3;1\right)=\left(2x-4;2y-10;2z-2\right)\\\left(1;-3;1\right)=\left(4-2x;10-2y;2-2z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}E\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2}\right)\\E\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{13}{2};\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

c.

Gọi \(M\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;10;0\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x-1;y+3;z-1\right)\\\overrightarrow{CM}=\left(x+3;y-2;z-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\overrightarrow{AB}=\left(3;30;0\right)\\2\overrightarrow{AM}=\left(2x-2;2y+6;2z-2\right)\\3\overrightarrow{CM}=\left(3x+9;3y-6;3z-15\right)\end{matrix}\right.\)

\(3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{CM}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3+2x-2=3x+9\\30+2y+6=3y-6\\0+2z-2=3z-15\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=42\\z=13\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\left(-8;42;13\right)\)