Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

\(x^2+xy-2x-y-19=0\)

\(pt\Leftrightarrow\left(xy-y\right)+\left(x^2-2x+1\right)=20\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2=20\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+x-1\right)=20\)

\(P=\dfrac{xy}{1+x+y}+\dfrac{yz}{1+y+z}+\dfrac{xz}{1+z+x}\)

\(P+3=\dfrac{xy}{1+x+y}+1+\dfrac{yz}{1+y+z}+1+\dfrac{xz}{1+z+x}+1\)

\(P+3=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1+x+y}+\dfrac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{1+y+z}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}{1+z+x}\)

\(P+3=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{\left(1+x+y\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{\left(x+1\right)\left(1+y+z\right)}+\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{\left(y+1\right)\left(1+z+x\right)}\)

\(P+3=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left[\dfrac{1}{\left(1+x+y\right)\left(z+1\right)}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(1+y+z\right)}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)\left(1+z+x\right)}\right]\)

\(\ge\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\left(1+x+y\right)\left(z+1\right)+\left(x+1\right)\left(1+y+z\right)+\left(y+1\right)\left(1+z+x\right)}\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\text{ }2xy+2yz+2xz+3x+3y+3z+3}\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\text{ }2xy+2yz+2xz+3\cdot2xyz}\)

\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\cdot\dfrac{9}{\text{ }2\left(xy+yz+xz+3xyz\right)}\)

Lại có:

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1\)

\(=xyz+xy+yz+xz+2xyz=xy+yz+xz+3xyz\)

\(\Rightarrow P+3\ge\left(xy+yz+xz+3xyz\right)\cdot\dfrac{9}{2\left(xy+yz+xz+3xyz\right)}\)

\(\Rightarrow P+3\ge\dfrac{9}{2}\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)

mk chỉ cho bn cách lm thôi nha

ta có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(-\left(m+1\right)\right)^2-4.1.\left(m^2-2m+2\right)\)

\(=m^2-2m+1-4m^2+8m-8=-3m^2-6m-7\)

ta có phương trình có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\Delta=0\) rồi tìm \(m\)

phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta< 0\) rồi tìm \(m\)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\) rồi tìm \(m\)

vậy kết luận ....................................................................

1: Thay x=4 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot4^2=8\)

Thay x=4 và y=8 vào y=x-m, ta được:

4-m=8

hay m=-4

Ta có: \(2x^2-5x+5=2\left(x^2-2.\dfrac{5}{4}x+\dfrac{25}{16}\right)+\dfrac{15}{8}=2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{15}{8}>0\)

em chỉ chứng minh được \(\dfrac{7\left(x_1+x_2\right)}{2}-x_1.x_2\le18\)

x₁x₂=2m^2+9m+7

x1+x2=-(2m+2)

VT đpcm <=>

\(\left|\dfrac{-7\cdot2\left(m+1\right)}{2}-\left(2m^2+9m+7\right)\right|\)

=\(\left|-2m^2-16m-14\right|\)

đến đây có thể sử dụng máy tính casio fx-570Vn Plus để tìm GTLN = 18 tại m=-4

gọi HPT trên là (1)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{9}{2}\\xy+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt x+y=a;xy=b(b#0).HPT trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+\dfrac{a}{b}=\dfrac{9}{2}\left(!\right)\\b+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{2}\left(!!\right)\end{matrix}\right.\)

Giải PT (!!) ta được \(b_1=2;b=\dfrac{1}{2}\)

TH1: Với b=2 thay vào (!)=>a=3

=> x+y=3 và xy=2 => x=2;y=1.

TH2: Với b=1/2 thay vào (!)=> a=3/2

=> x+y=3/2 và xy=1/2 => x=1 và y=1/2.

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(2;1\right);\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\right\}\)

có: \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2a-b}{ab}\Rightarrow2a-b=\dfrac{ab}{c}\)

tương tự ta cũng có \(2c-b=\dfrac{bc}{a}\)

\(VT=\dfrac{c\left(a+b\right)}{ab}+\dfrac{a\left(c+b\right)}{bc}=\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}=\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\dfrac{a+c}{b}\)

Áp dụng BĐt AM-GM:\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\)

và \(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{a+c}\Leftrightarrow a+c\ge2b\)

do đó \(VT\ge2+2=4\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(=>\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\\x+2=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\)

\(=>\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\\x=-2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của pt là : \(S=\left\{0;-1;-2;-3\right\}\)