Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Tui làm theo cách tiểu học, để mai nghĩ xem có cách nào làm "cấp 3" ko

2+3=5; 5+3=8

Số số hạng: \(\dfrac{3n-1-2}{3}+1=n\left(so-hang\right)\)

Tổng: \(\dfrac{\left(3n-1+2\right).n}{2}=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)

- Với \(n=1\Rightarrow1=\frac{1.2.3}{6}\) (đúng)

- Giả sử đẳng thức cũng đúng với \(n=k\) hay:

\(1^2+2^2+...+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

Thật vậy, ta có:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(k+1\right)\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+k+1\right)=\left(k+1\right)\left(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\right)\)

\(=\left(k+1\right)\left(\frac{2k^2+7k+6}{6}\right)=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\) (đpcm)

đề thiếu nha bn ; đề đủ là : chứng minh \(6^{2n}+10.3^n\) chia hết cho \(11\) với mọi \(n\) thuộc N^* .

+ với \(n=1\) ta có : \(6^{2n}+10.3^n=6^2+10.3^1=66\) chia hết cho \(11\)

+ giả sử : khi \(n=k\) thì \(6^{2n}+10.3^n=6^{2k}+10.3^k\) chia hết cho \(11\)

ta có khi \(n=k+1\) \(\Rightarrow6^{2n}+10.3^n=6^{2\left(k+1\right)}+10.3^{k+1}\)

\(=6^2.6^{2k}+10.3^k.3=36.6^{2k}+10.3^k.36-33.10.3^k\)

\(=\left(36.\left(6^{2k}+10.3^k\right)-33.10.3^k\right)⋮11\)

\(\Rightarrow6^{2n}+10.3^n=\left(36.\left(6^{2k}+10.3^k\right)-33.10.3^k\right)⋮11\)

vậy \(6^{2n}+10.3^n\) chia hết cho \(11\) với mọi \(n\) thuộc N*

Lời giải:

Ta có: \(4\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 4^{n+1}\equiv 1^{n+1}\equiv 1\pmod 3\)

\(5\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 5^{2n-1}\equiv (-1)^{2n-1}\equiv -1\pmod 3\)

Do đó: \(A=4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod 3\)

\(\Leftrightarrow A\) chia hết cho $3$ (1)

Lại có:

\(5\equiv -2\pmod 7\Rightarrow 5^{2n-1}\equiv (-2)^{2n-1}\equiv -2^{2n-1}\pmod 7\)

\(\Rightarrow A=4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 2^{2n+2}-2^{2n-1}\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 2^{2n-1}(2^3-1)\equiv 7.2^{2n-1}\equiv 0\pmod 7\)

Hay $A$ chia hết cho $7$ (2)

Từ (1), (2) kết hợp với $(3,7)=1$ suy ra \(A\vdots 21\)

Ta có đpcm.

A = n⁵ - 6n =n⁵-n-5n
= n.(n⁴ - 1) -5n
= n.(n² + 1)(n² - 1) -5n
= n.(n² + 1)(n - 1)(n + 1)-5n
= n.(n² - 4 + 5)(n - 1)(n + 1) -5n
= n[(n-2)(n+2)+5](n - 1)(n + 1) -5n
= [n(n-2)(n+2)+5n](n - 1)(n + 1) -5n
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) -5n
Ta có:

+n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
+5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5

+5n chia hết chon 5
=> n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)-5n chia hết cho 5
=> A chia hết cho 5

Đặt biêu thức =A nha

bài này hơi rắc rối ; bạn nên sử dụng phương pháp qui nạp toán học 2 lần

với \(k=1\) ta có : \(5k^4+10k^3+10k^2+5k=30⋮3\)

giả sữ : \(k=n\) thì ta có : \(5n^4+10n^3+10n^2+5n⋮30\)

khi đó với \(k=n+1\) thì ta có :

\(5k^4+10k^3+10k^3+5k=5\left(n+1\right)^4+10\left(n+1\right)^3+10\left(n+1\right)^2+5\left(n+1\right)\)

\(=5\left(n^4+4n^3+6n^2+4n+1\right)+10\left(n^3+3n^2+3n+1\right)+10\left(n^2+2n+1\right)+5\left(n+1\right)\)

\(=5n^4+10n^3+10n^2+5n+20n^3+60n^2+70n+30\)

giờ ta chỉ cần chứng minh \(20n^3+60n^2+70n+30⋮30\) là được

với \(n=1\) ta có : \(20n^3+60n^2+70n+30=180⋮3\)

giả sữ : \(n=a\) thì ta có : \(20a^2+60a^2+70a+30⋮3\)

khi đó với \(n=a+1\) thì ta có :

\(20\left(n\right)^3+60n^2+70n+30=20\left(a+1\right)^3+60\left(a+1\right)^2+70\left(a+1\right)+30\)

\(=20\left(a^3+3a^2+3a+1\right)+60\left(a^2+2a+1\right)+70\left(a+1\right)+30\)

\(=20a^3+60a^2+70a+30+60a^2+180a+150⋮3\)

\(\Rightarrow20n^3+60n^2+70n+30⋮30\)

\(\Rightarrow5k^4+10k^3+10k^2+5k⋮30\)

vậy \(5k^4+10k^3+10k^2+5k\) chia hết cho \(30\) với \(k\in N^{\circledast}\) (đpcm)