Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

a)
Với \(n=1\) .
\(2^n=2^2=4;2n+1=2.2+1=5\).
Với n = 1 thì \(2^n< 2n+1\).
Với \(n=2\)
\(2^n=2^3=8;2n+1=2.3+1=7\)
Với n = 2 thì \(2^n>2n+1\).
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp giả thiết:
Với \(n\ge2\) thì \(2^n>2n+1\). (*)
Với n = 2 (*) đúng .
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>2k+1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(2^{k+1}=2.2^k>2.\left(2k+1\right)=4k+2>2\left(k+1\right)+1\) (với \(k\ge2\)).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ε N^* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: = 2

Vậy khẳng định là đúng với n= 4.

Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có

số đường chéo là

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

+ k - 2 + 1 =

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh

Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại

\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)

\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm

Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).

a) Ta có:

b) Từ câu a) ta dự đoán (1), với mọi n ε N^{* .}

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là , vế phải bằng . Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nh=ghĩa là phải chứng minh

Ta có

=

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k) 3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1 3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k 3, mặt khác 3(k² + 3k + 3) 3 nên S_k+1 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) 3 với mọi n ε N^{* .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1 9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S₁ 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, nên S_k+1 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) 9 với mọi n ε N^*

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k³ + 11k 6

Ta phải chứng minh S_k+1 6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) 6, do đó S_k+1 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =

Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S_k+1 = S_k + 3k + 2 = + 3k + 2

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*

b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng , do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh .

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² =

Ta phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =} = (k + 1). = (k + 1)

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N^*

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

3^k > 3k + 1

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3^{k + 1} > 9k + 3 <=> 3^{k + 1} > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k - 1 > 0 nên

3^{k + 1} > 3k + 4 hay 3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

2^{k + 1} > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

2^{k + 2} > 2(k + 1) + 3 <=> 2^{k + 2} > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2^{k + 2} > 4k + 6 <=> 2^{k + 2} > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2^{k + 2} > 2k + 5

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.