Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Ta có: = (1)

= (2)

(Vì và là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn).

Theo gỉả thiết thì:

Từ (1),(2), (3), (4), suy ra = do đó ∆AEH là tam giác cân.

Ta có: \(\widehat{ASC}=\dfrac{sđ\left(\widehat{AB}-\widehat{MC}\right)}{2}\) (1)

(\(\widehat{ASC}\) là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn (O)) và \(\widehat{MCA}=\dfrac{sđ\widehat{AM}}{2}\) (2)

(góc nội tiếp chắn cung \(\widehat{AM}\))

Theo giả thiết thì:

AB = AC => \(\widehat{AB}\) = \(\widehat{AC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

\(\widehat{AB}-\widehat{MC}=\widehat{AC}-\widehat{MC}=\widehat{AM}\)

Từ đó \(\widehat{ASC}=\widehat{MCA}\).

a) Ta có là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:

\(\widehat{AEB}=\dfrac{sđ\left(\widehat{AB}-\widehat{CD}\right)}{2}=\dfrac{180^O-60^O}{2}=60^O\)

và \(\widehat{BTC}\) cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn ( hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:

\(\widehat{BTC}\) = sđ\(\dfrac{\widehat{BAC}-\widehat{BDC}}{2}=\dfrac{\left(180^O+60^O\right)-\left(60^O+60^O\right)}{2}=60^O\)

Vậy =

b) \(\widehat{DCT}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên:

\(\widehat{DCT}=\dfrac{sđ\widehat{CD}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

→ \(\widehat{DCB}\) là góc nội tiếp trên

\(\widehat{DCB}\) = \(\dfrac{sđ\widehat{DB}}{2}\) = \(\dfrac{60^O}{2}=30^O\)

Vậy \(\widehat{DCT}\) = \(\widehat{DCB}\) hay CD là phân giác của \(\widehat{BCT}\)

Ta có = (1)

( vì là góc có đỉnh S ở trong đường tròn (O))

= = (2)

( là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

Theo giả thiết = (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: = từ đó ∆ESM là tam giác cân và ES = EM

Ta có \(\widehat{MSE}\) = (1)

( vì \(\widehat{MSE}\) là góc có đỉnh S ở trong đường tròn (O))

\(\widehat{CME}\) = = (2)

(\(\widehat{CME}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

Theo giả thiết = (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat{MSE}\)= \(\widehat{CME}\)từ đó \(\Delta\)ESM là tam giác cân và ES = EM

a) Gọi giao điểm của AP và QR là K.

\(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên

\(\widehat{AKR}\) = sđcung(AR +QC + CP)/2 =

Vậy \(\widehat{AKR}\) = 900 hay AP \(\perp\) QR

b) \(\widehat{CIP}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:

\(\widehat{CIP}\) = sđcung(AR +CP)/2 (1)

\(\widehat{PIC}\) góc nội tiếp, nên \(\widehat{PIC}\)= (sđ cung RB + BP)/2 (2)

Theo giả thiết thì cung AR = RB (3)

Cung CP = BP (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat{CIP}\) = \(\widehat{PIC}\). Do đó \(\Delta\)CPI cân.

Theo giả thiết: cung AC = cung BD (vì AB // CD) (1)

\(\widehat{AIC}\) = sđ cung AC + cung BD : 2 (2)

Theo (1) suy ra \(\widehat{AIC}\) = sđ cung AC

\(\widehat{AOC}\) = sđ cung AC(góc ở tâm chắn cung AC)

So sánh (3), (4), ta có \(\widehat{AOC}\) = \(\widehat{AIC}\)