Bài 3: Góc nội tiếp

a) Đúng (theo hệ quả a)

b) Sai, vì trong một đường tròn có thể có các góc nội tiếp bằng nhau nhưng không cùng chắn một cung.

Vận dụng định lí số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn, ta có:

a) \(\widehat{MAN}=30^O\Rightarrow\widehat{MBN}=60^O\Rightarrow\widehat{PCQ}=90^O\)

b) \(\widehat{PCQ}=136^O\Rightarrow\widehat{MBN}=68^O\Rightarrow\widehat{MAN}=34^O\)

Vận dụng hệ quả b, ta dùng êke ở hình trên. Tâm đường tròn chính là giao điểm của hai cạnh huyền của hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn.

Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp ,, cùng chắn
cung PQ \(\Rightarrow\) = = .

BM ⊥ SA ( = vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Tương tự, có: AN ⊥ SB

Như vậy BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tâm.

Suy ra SH ⊥ AB.

(Trong một tam giác ba đường cao đồng quy)

Nối B với 3 điểm A, C, D ta có:

=

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy + =

Suy ra ba điểm A, C, D thẳng hàng.

Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau. Vì cùng căng dây AB.

Suy ra = (cùng chắn hai cung bằng nhau) nên tam giác BMN là tam giác cân đỉnh B

Ta có: ∆MAB~ ∆MCA ( = ; = )

nên =

Suy ra MA² = MB. MC

a) M ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác MAB' và MA'B chúng có:

= ( đối đỉnh)

= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Do đó ∆MAB' ~ ∆MA'B, suy ra:

= , do đó MA. MB = MB'. MA'

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

∆MAB' ~ ∆MA'B

M chung = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Suy ra: =

hay MA. MB = MB'. MA'

Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung tròn là

Theo bài tập 23, ta có:

KA. KB = KM. KN

hay KA. KB = KM. (2R - KM)

Thay số, ta có:

20. 20 = 3(2R - 3)

do đó 6R = 400 + 9 = 4099.

Vậy R = ≈688,2(mét)