Question

Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BD. DC, CA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình vuông.

Answer 1

Xét ΔABC có

E,H lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EH là đường trung bình của ΔABC

=>EH//BC và EH=BC/2

Xét ΔBDC có

F,G lần lượt là trung điểm của DB,DC

=>FG là đường trung bình của ΔBDC

=>FG//BC và FG=BC/2

EH//BC

FG//BC

Do đó: EH//FG

EH=BC/2

FG=BC/2

Do đó: EH=FG

Xét tứ giác EHGF có

EH//FG

EH=FG

Do đó: EHGF là hình bình hành

Xét ΔBAD có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BD

=>EF là đường trung bình

=>EF//AD và EF=AD/2

Để EHGF là hình vuông thì EH=EF và EH\(\perp\)EF

EH=EF

EH=BC/2

EF=AD/2

Do đó: BC=AD

EH\(\perp\)EF

EH//BC

Do đó: EF\(\perp\)BC

EF\(\perp\)BC

EF//AD

Do đó: BC\(\perp\)AD

Vậy: Khi BC=AD và BC\(\perp\)AD thì EFGH là hình vuông