Áp dụng tính chất \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
A= |x-1| + |x-2| + |x-4| + |x-5|
\(A=\left(\left|x-1\right|+\left|x-5\right|\right)+\left(\left|x-2\right|+\left|x-4\right|\right)\)
\(A=\left(\left|x-1\right|+\left|5-x\right|\right)+\left(\left|x-2\right|+\left|4-x\right|\right)\ge\left|x-1+5-x\right|+\left|x-2+4-x\right|=6\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(5-x\right)\ge0\\\left(x-2\right)\left(4-x\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le5\\2\le x\le4\end{matrix}\right.\) => \(2\le x\le4\)
Lại có: \(\left|x-3\right|\ge0\), dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi: \(x-3=0\)
=> \(x=3\)
=> |x-1| + |x-2| + \(\left|x-3\right|\) + |x-4| + |x-5| \(\ge6\)
=> \(A\ge6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi x=3
