1)
\(15x^3+29x^2-8x-12=(15x^3+30x^2)-(x^2+2x)-(6x+12)\)
\(=15x^2(x+2)-x(x+2)-6(x+2)\)
\(=(x+2)(15x^2-x-6)=(x+2)(15x^2-10x+9x-6)\)
\(=(x+2)[5x(3x-2)+3(3x-2)]\)
\(=(x+2)(3x-2)(5x+3)\)
2)
\(x^3+4x^2-29x+24=(x^3-x^2)+(5x^2-5x)-(24x-24)\)
\(=x^2(x-1)+5x(x-1)-24(x-1)\)
\(=(x-1)(x^2+5x-24)\)
\(=(x-1)(x^2-3x+8x-24)\)
\(=(x-1)[x(x-3)+8(x-3)]=(x-1)(x-3)(x+8)\)
3.
\(x^4+6x^3+7x^2-6x+1\)
\(=(x^4+6x^3+9x^2)-2x^2-6x+1\)
\(=(x^2+3x)^2-2x^2-6x+1\)
\(=(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)+1=(x^2+3x-1)^2\)
4.
\(x^3+4x^2-31x-70=(x^3+2x^2)+(2x^2+4x)-(35x+70)\)
\(=x^2(x+2)+2x(x+2)-35(x+2)\)
\(=(x+2)(x^2+2x-35)\)
\(=(x+2)(x^2-5x+7x-35)\)
\(=(x+2)[x(x-5)+7(x-5)]\)
\(=(x+2)(x-5)(x+7)\)
5.
\(5x^4+24x^3-15x^2-118x+4\)
\(=5x^4-10x^3+34x^3-68x^2+53x^2-106x-(12x-24)\)
\(=5x^3(x-2)+34x^2(x-2)+53x(x-2)-12(x-2)\)
\(=(5x^3+34x^2+53x-12)(x-2)\)
\(=(5x^3+15x^2+19x^2+57x-4x-12)(x-2)\)
\(=[5x^2(x+3)+19x(x+3)-4(x+3)](x-2)\)
\(=(5x^2+19x-4)(x+3)(x-2)\)
\(=(5x^2+20x-x-4)(x+3)(x-2)\)
\(=[5x(x+4)-(x+4)](x+3)(x-2)\)
\(=(5x-1)(x+4)(x+3)(x-2)\)
6.
\(x^4-6x^3+7x^2+6x-8\)
\(=(x^4-6x^3+9x^2)-2x^2+6x-8\)
\(=(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8\)
\(=(x^2-3x)^2+2(x^2-3x)-4(x^2-3x)-8\)
\(=(x^2-3x)(x^2-3x+2)-4(x^2-3x+2)\)
\(=(x^2-3x+2)(x^2-3x-4)\)
\(=(x^2-x-2x+2)(x^2+x-4x-4)\)
\(=[x(x-1)-2(x-1)][x(x+1)-4(x+1)]\)
\(=(x-1)(x-2)(x+1)(x-4)\)
Riêng đối với câu 5, cách làm dưới của mình hiệu quả chỉ khi bạn tìm được nghiệm của đa thức rồi tách ghép hợp lý. Nếu không, bạn có thể sử dụng pp hệ số bất định.
Đặt \(5x^4+24x^3-15x^2-118x+24=(5x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\) (tất nhiên $a,b,c,d$ nguyên)
\(\Leftrightarrow 5x^4+24x^3-15x^2-118x+24=5x^4+5cx^3+5dx^2+ax^3+acx^2+axd+bx^2+bcx+bd\)
\(\Leftrightarrow 5x^4+24x^3-15x^2-118x+24=5x^4+x^3(5c+a)+x^2(5d+ac+b)+x(ad+bc)+bd\)
Đồng nhất hệ số:
\(\left\{\begin{matrix} 5c+a=24\\ 5d+ac+b=-15\\ ad+bc=-118\\ bd=24\end{matrix}\right.\)
Từ \(bd=24\) ta chọn $b=-4$, $d=-6$ (có nhiều TH, nhưng ta chọn một con số khả thi, nếu không được thì chuyển sang $-8,-3....$
\(\left\{\begin{matrix} 5c+a=24\\ ac=19\\ 6a+4c=118\end{matrix}\right.\Rightarrow a=19;c=1\)
Vậy \(5x^4+24x^3-15x^2-118x+24=(5x^2+19x-4)(x^2+x-6)\)
\(=(5x^2+20x-x-4)(x^2-2x+3x-6)\)
\(=[5x(x+4)-(x+4)][x(x-2)+3(x-2)]\)
\(=(x+4)(5x-1)(x-2)(x+3)\)