Câu 1:
ĐK: \(4\leq x\leq 6\)
Ta thấy biểu thức vế trái luôn không âm theo tính chất căn bậc 2
Vế phải: \(x^2-10x-27=x(x-10)-27< 0-27< 0\) với mọi \(4\leq x\leq 6\), tức là biểu thức vế phải luôn âm
Do đó pt vô nghiệm
Câu 2:
\(x\geq -3; y\geq 3; z\geq 3\)
Ta có: \(\sqrt{x+3}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-3}=\frac{1}{2}(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{x+3}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z-3}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow (x+3-2\sqrt{x+3}+1)+(y-3-2\sqrt{y-3}+1)+(z-3-2\sqrt{z-3}+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-3}-1)^2=0\)
Vì \((\sqrt{x+3}-1)^2; (\sqrt{y-3}-1)^2; (\sqrt{z-3}-1)^2\) đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((\sqrt{x+3}-1)^2=(\sqrt{y-3}-1)^2=(\sqrt{z-3}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow x=-2; y=z=4\)
Câu 3:
ĐK: \(x\geq 0; y\geq 1\)
\(x+y+4=2\sqrt{x}+4\sqrt{y-1}\)
\(\Leftrightarrow (x-2\sqrt{x}+1)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2=0\)
Vì \((\sqrt{x}-1)^2\geq 0; (\sqrt{y-1}-2)^2\geq 0\) nên để tổng của chúng bẳng $0$ thì:
\((\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{y-1}-2)^2=0\)
\(\Rightarrow x=1; y=5\) (thỏa mãn)
Câu 4:
ĐK: \(x\geq \frac{-10}{3}\)
\(x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}\)
\(\Leftrightarrow (x^2+6x+9)+(3x+10)-2\sqrt{3x+10}+1=0\)
\(\Leftrightarrow (x+3)^2+(\sqrt{3x+10}-1)^2=0\)
Vì \((x+3)^2\geq 0; (\sqrt{3x+10}-1)^2\geq 0\), do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((x+3)^2=(\sqrt{3x+10}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow x=-3\) (thỏa mãn)
Vậy $x=-3$ là nghiệm của pt.